Hoe ga je van de parametervergelijking van een cycloide naar de cartesiaanse vergelijking?

Antwoord

Beste Gertjan,

Parametervergelijkingen omzetten naar carthesiaanse vergelijkingen is een vaak moeilijke opdracht. Als je hoopt dat de (eenvoudige) parametervergelijking ook leidt tot een eenvoudige cartesiaanse vergelijking, dan moet ik je teleurstellen!

We proberen in deze vraag de parametervergelijking

om te zetten naar een vergelijking waar de parameter t niet meer in voorkomt (r is hierbij de straal van de rollende cirkel).

Een methode die vaak werkt is dat je probeert één van beide vergelijking op te lossen naar t en dan de gevonden waarde van t in te vullen in de andere vergelijking.

De t halen uit de eerste vergelijking is zeer moeilijk aangezien de t zowel gewoon voorkomt, als binnen de sinus. Gelukkig kan het bij de tweede vergelijking makkelijker:

Nu kunnen we uit de laatste gelijkheid t halen:

Helaas geldt dit wel enkel voor t tussen 0 en pi. Dat moeten we in de rest van de afleiding onthouden. (Merk hier op dat Bgcos de inverse functie is van de cosinus. Je kan Bgcos ook als acos of cos^-1 tegenkomen in andere literatuur).

Nu kunnen we t invullen in de gelijkheid met de x:

Omdat hierboven t enkel tussen 0 en pi zit, en dus x tussen 0 en r*pi, zal deze vergelijking enkel kloppen voor het deel van de kromme dat bestaat uit de eerste halve boog van de cycloïde. Door de gelijkheid

kunnen we het laatste deel van de vergelijking eventueel nog anders schrijven:

Hou er dus wel rekening mee dat (door de beperking van Bgcos hierboven) deze gelijkheid enkel klopt voor de eerste halve boog van de cycloïde. Voor elke andere halve boog zal de cycloïde een andere impliciete vergelijking hebben (die zeer sterk lijken op degene die we hierboven hebben afgeleid). Met wat moeite kunnen we dan al deze kleine stukje samen in één grote vergelijking steken, maar dat wordt dan zeer pittig:

Een schoonheidsprijs zal de vergelijking echter nooit winnen.