Hoe verklaar je de parametervergelijking van een epicycloïde?

Antwoord

De epicycloide ontstaat door een cirkel met straal r te laten wentelen rond een cirkel met straal R. Meestal kiest met R als een geheel veelvoud van r maar dat hoeft niet. Ook indien de verhouding tussen r en R rationaal is (een breuk met een geheel getal in teller en in noemer)  krijg je een periodiek verloop. De afleiding van de formules is vrij eenvoudig, zie het bijgevoegd pdf-bestand. Op internet vindt je nog tal van websites met de afleiding maar eigenlijk komt het gewoon neer op het optellen van twee vectoren waarvan je de x- en y-componenten van de figuur afleest.

Nog een leuk aspect: neem bijvoorbeeld de kleine straal  r  gelijk aan een vierde van de grote straal  R  dan heeft je figuur vier blaadjes. Stel nu dat je op de kleine cirkel een gezichtje tekent, en je laat dan de kleine cirkel eenmaal rond de grote wentelen. Hoeveel keer zal je dat gezichtje dan zien wentelen? VIJF keer, dus een keer meer dan de verhouding van de stralen. Probeer maar eens met twee gelijke stralen, dus een  verhouding 1. Neem daarvoor twee muntstukken met onze koning en laat een muntstuk rond het andere draaien. Je zal hem tweemaal zien wentelen, een keer meer dan de verhouding. En bij een hypocycloide.....? Dan wordt dat....?