Hoe verklaar je de parametervergelijking van een cycloïde?

Antwoord

Beste Ellen,

de cosinus en sinus komen van de ronddraaiende beweging van het punt. Een punt van de cycloïde beweegt volgens de samenstelling van twee bewegingen: een verschuiving, gegeven door x=rt en y=0 (dat zou de vergelijking zijn indien het wiel gewoon zou schuiven zonder draaien), en de rotatie van het wiel om zijn middelpunt. We bekjken deze laatste eens van naderbij. Op het tijdstip t heeft het punt t radialen afgelegd gemeten vanaf de onderkant van het wiel, dus vanaf de hoek 3pi/2. De hoek op tijdstip t bedraagt dus 3pi/2-t (min t want indien het wiel naar rechts draait beweegt het put zich in wijzerszin, en positieve hoeken worden gemeten in tegenwijzerszin). Indien de cirkel zich nu met zijn middelpunt in de oorsprong zou bevinden, dan weten we uit de definitie van sinus en cosinus van een hoek, dat de x-coördinaat van het punt gelijk is aan r.cos(3pi/2-t) en de y-coördinaat r.sin(3pi/2-t). Inderdaad, algemeen is de coördinaat van het beeldpunt op de goniometrische cirkel van een hoek h gelijk aan (cos(h),sin(h)). Indien de cirkel straal r heeft moeten we de coördinaten met r vermenigvuldigen. Maar het middelpunt van de cirkel bevindt zich nu in het punt met coördinaat (0,r), dus moeten we dit erbij tellen voor de exacte positie van het bewegend punt te vinden. De x-coördinaat blijft dezelfde, maar de y-coördinaat wordt r+r.sin(3pi/2-t). Nu reken je uit dat cos(3pi/2-t)=-sin(t) en sin(3pi/2-t)=-cos(t). We verkrijgen dus (-r.sin(t),r(1-cos(t))). Nu tellen we daar de verschuiving (rt,0) bij op en verkrijgen als x-coördinaat x=rt-rsin(t) en y-coördinaat y=r(1-cos(t)), en dat was wat we moesten uitkomen.

Ik hoop dat dit duidelijk is, anders moet je me maar contacteren (hvm@cage.ugent.be).

Vriendelijke groeten,

--Hendrik Van Maldeghem