Hoe bepaal ik de vergelijking van de raaklijnen in de punten in deze oefening?

Antwoord

Dit is een zogenaamde parameterfunctie in twee dimensies waarbij x en y beiden functie van t.  Voor elke waarde van t krijg je een punt in het (x,y)-vlak. Als t verandert gaat dat punt 'rondlopen' in het (x,y)-vlak. Voorbeeld: als x = cos(t) en y = sin(t)  loopt het punt in tegenwijzerin (als t toeneemt) op een cirkel met straal 1. Maar t elimineren zoals bij deze cirkel is zeker niet altijd mogelijk.

Maar vooreerst: uw grafiek toont niet wat er in de buurt van (0,0) gebeurt want daarvoor is de schaal die u gebruikt te groot. Als je de grafiek tot de buurt van (0,0) beperkt tot een kleiner gebied zie je wat er echt gebeurt (zie bijgaande figuur).

Er zijn dus twee t-waarden waarvoor y = 0, namelijk de waarden waarvoor y(t) = 0, dus  t = -1 en t = +1

Vb met t = -1  : door in te vullen in x en y zie dat het gaat over het punt (0, 0)

     met t = 1   : dat gaat over het punt (2,0)

Hoe vind je nu de raaklijn in zo'n punt?

Wel, je hebt daarvoor de afgeleide nodig aan de gevolgde curve, en omdat die curve in het (x,y)-vlak ligt is dat een afgeleide  dy/dx

Echter... je kan y niet naar x afleiden want y is functie van t, niet van x (altans niet rechtstreeks). Maar via de kettingregel lukt dat wel:

dy/dx = ( dy/dt) . (dt/dx)  = (dy/dt) / ( dx/dt)  =  y'_t / x'_t  =  (in dit geval) =  -2t / 5t⁴

Bijvoorbeeld,  voor t = 1 wordt dat -2/5

de raaklijn in het punt bereikt door t = 1 is dus:   y - 0 = -2/5 ( x - 2)

Let op   dy/dt  kan dus berekend worden als  y'_t / x'_t   maar....

de tweede afgeleide  d²y/ dx² is NIET  y''_t / x''_t  maar wel  (y'_t / x'_t ) ' / x'_t