Is het mogelijk om met een gegeven hoeveelheid verf, intervallen rond alle rationale getallen op de reële getallenas te verven?

Beste Ward

Je kan dit inderdaad bewijzen, maar het is toch pas 'eenvoudig' te noemen als je al een beetje wiskundig materiaal ontwikkeld hebt dat hiervoor nodig is. Het allemaal wiskundig heel netjes opbouwen/bewijzen zou ons hier te ver leiden, maar ik kan wel in vogelvlucht het idee overlopen. We doen dat in twee stappen; eerst tonen we dat je alle rationale getallen kan 'nummeren'.

Een deel van het antwoord schuilt in het feit dat er 'veel minder' rationale getallen zijn dan irrationale getallen, die samen de volledige reële getallenas vullen. Er zijn er in beide gevallen natuurlijk oneindig veel, dus er is nood aan een wiskundig preciezere manier om die 'groottes' te vergelijken.

Er zijn oneindig veel natuurlijke getallen, maar die kan je wel achtereenvolgens opnoemen en dus 'tellen': 0, 1, 2, 3, ... Het zijn er oneindig veel, maar we noemen dat 'aftelbaar (oneindig)' net omdat je ze zo kan oplijsten. Eender welke (oneindige) verzameling waarvoor dat lukt, noemen we aftelbaar (oneindig). Of nog anders gezegd: een verzameling is aftelbaar oneindig als we elk element van die verzameling kunnen koppelen aan een natuurlijk getal en en omgekeerd (preciezer: er kan een bijectie gelegd worden tussen de natuurlijke getallen en de elementen van die verzameling).

Misschien niet heel intuïtief, maar met deze afspraak zijn ook de gehele getallen aftelbaar en dus in die zin is de verzameling van de gehele getallen 'even groot' als de verzameling van de natuurlijke getallen. Een mogelijk oplijsting zou bijvoorbeeld zijn: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, ... Het is duidelijk dat elk geheel getal op precies een bepaalde plaats in deze lijst zal voorkomen. Dit betekent dat we de gehele getallen kunnen 'nummeren' met de natuurlijke getallen, we kunnen bij een bepaalde oplijsting spreken van een eerste, tweede, derde enz. geheel getal en door ze op die manier af te gaan, overlopen we alle gehele getallen.

Nog wat minder intuïtief is het feit dat je ook alle rationale getallen op zo'n manier kan oplijsten! Ook die verzameling is dus aftelbaar en we kunnen spreken van het eerste, tweede, derde enz. rationale getal en ze op die manier allemaal doorlopen. De formele details (het leggen van zo een bijectie) kan je lezen via de bijgevoegde link, maar de bijgevoegde afbeelding maakt het visueel al vrij duidelijk hoe je alle (positieve) rationale getallen zou kunnen doorlopen en dus ook 'nummeren'.

Nu we de rationale getallen genummerd hebben, kunnen we terugkeren naar de reële getallenas en de analogie met de verf voor de tweede stap. De reële getallenas zit vol met rationale getallen, maar tussen rationale getallen zitten er natuurlijk ook nog irrationale getallen. Het is de bedoeling om rond elk rationaal getal een open interval te kiezen en dan gaan we de lengtes van al die intervallen (dat zijn er natuurlijk oneindig veel!) optellen. Als we die totale som van lengtes eindig kunnen houden, dan volstaat er als het ware een eindige hoeveelheid verf om al die intervallen te kleuren en dan zijn ook alle rationale getallen 'bedekt' met (een eindige hoeveelheid) verf.

We gaan gebruikmaken van het feit dat we de rationale getallen hebben kunnen nummeren: ik kan ze nu handig r₁, r₂, r₃, ... noemen. Veronderstel dat we een zeker positief getal epsilon (ik kort af tot e) vooropstellen met als bedoeling de totale som van lengtes van de intervallen kleiner dan deze e te houden. Rond r₁ nemen we een interval van lengte e/4, bv. mooi symmetrisch het interval (r₁-e/8,r₁+e/8). Vervolgens nemen we rond r₂ opnieuw zo een interval maar van lengte e/8, gehalveerd dus. Als we op die manier blijven halveren, ontstaan er oneindig veel intervallen waarvan de lengtes als volgt zijn: e/4, e/8, e/16, e/32, ... Rond elk rationaal getal, ontstaat er op deze manier een interval rond dat rationaal getal, met dalende lengtes van de intervallen.

Nu zijn we er, als je tenminste meetkundige reeksen al bestudeerd hebt? Voor de som van de lengtes van deze intervallen zoeken we immers e/4 +  e/8 +  e/16 + e/32 + ... en dat is de som van een meetkundige rij. Als je dit nog niet gezien hebt, kan je dit eventueel ook visualiseren: vertrek van een cirkel en arceer een kwart, vervolgens nog 1/8e erbij arceren, dan nog 1/16e enz. Het zou duidelijk moeten zijn dan bij het optellen van 'al deze termen', de som nooit boven 1/2 zal gaan. We zeggen dat de som van al de lengtes gelijk is aan e/2 en dat is duidelijk kleiner (want precies de helft!) van de eindige e (epsilon) waarvan we vertrokken.

Hopelijk heb je dit een beetje kunnen volgen. Nog een paar opmerkingen, voor het geval je hier meer over zou willen opzoeken:

- Het trucje met de gehele en rationale getallen blijft niet werken; je kan bewijzen dat de irrationale getallen bijvoorbeeld niet aftelbaar zijn, daar zijn er dus 'te veel' van. Het gevolg hiervan is dat ook de reële getallen niet aftelbaar zijn; we noemen zo'n verzamelingen 'overaftelbaar'.

- Het trucje met de steeds kleiner wordende intervallen om toch een eindige som te krijgen, houdt verband met het wiskundige begrip 'maat'. We zeggen dat de rationale getallen 'maat 0' hebben, precies omdat we er intervallen rond kunnen maken waarvan de totale som van lengtes kleiner is dan eender welk positief getal (hiervoor epsilon genoemd) dat wij op voorhand kiezen.

Groeten

Tom