Wat is het eenvoudigste bewijs dat de som van alle gehele getallen gelijk is aan -1/12?

Antwoord

Beste Niels,

De reeks die de som van alle natuurlijke getallen berekent is een tijdje terug opeens op pseudowetenschappelijke websites verschenen met als oplossing niet oneindig maar -1/12. Aangezien dit onbetrouwbare bronnen zijn moeten we met dit antwoord enorm oppassen.

De reeks is wel degelijk oneindig MAAR...

Bij de analyse van reeksen bestuderen we klassiek wat de som is van een oneindige optelsom wiens termen allen met elkaar in verband staan. Dit is in jouw voorbeeld zo want elke term is precies 1 meer dan haar voorgaande term. Indien deze som naar een eindig getal streeft wanneer we deze optelling term per term blijven uitrekenen dan heet de reeks "convergent" en anders heet deze reeks "divergent".

Op die manier hebben we dat:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+...+1/2^n+...=2

Deze reeks is bijgevolg convergent.

1+1/2+1/3+1/4+1/5+....+1/n+....=oo

Deze reeks is divergent. Op die manier is ook de reeks naarwaar je verwijst

1+2+3+4+5+6+...+n+...=oo

divergent.

Toch zijn dergelijke divergente reeksen interessant net omdat ze veel voorkomen en bepaalde eigenschappen hebben. Om die eigenschappen ervan te bestuderen gaat men de optelsom niet op de klassieke manier uitvoeren maar via een bepaald alternatief sommatieprocédé. De procedure hangt af van welke eigenschap je precies wenst te bestuderen. Er zijn heel wat sommatieprocedures beschikbaar maar ze hebben allen 1 belangrijke eigenschap gemeen: indien een dergelijke procedure wordt uitgevoerd op een convergente reeks dan heeft men liefst dat de som dezelfde is als bij de klassieke optelsom. Bijgevolg is niet zomaar alles toelaatbaar. Een belangrijk voorbeeld is de Césaro sommeerbaarheid.

Cesaro: Neem de som van de n eerste termen en heet die Sn. Deel dit getal door het aantal termen n. Dit zijn de Cesaro getallen, wat niets meer is dan de gemiddelden. Indien de rij van Cesaro-getallen naar een eindige waarde streeft dan heten we dit de Cesarosom van de reeks. Zo krijgen we dat in jouw reeks:

1+2+3+4+...+n=1/2(n+1)n

De Cesarogetallen worden: Cn=1/2(n+1)

Deze cesarogetallen streven nog steeds naar oneindig dus ook de reeks 1+2+3+4+5+... is niet cesarosommeerbaar.

Er zijn heel wat andere sommeerbaarheidsprocédés elk met een ander nut: Abelsommeerbaarheid, Borelsommeerbaarheid, ...

Wat voorkomt in de Snaartheorie waar jij naar verwijst is de Ramanujansommeerbaarheid. Je vraagt naar een eenvoudig bewijs van -1/12 maar dit is niet voorhanden behalve als je trucs gebruikt die eigenlijk niet toegelaten zijn want die voldoen niet aan de Ramanujantechniek maar bij toeval leiden die wel tot -1/12 (dergelijke flauwekul is te vinden op pseudowetenschappelijke websites dus oppassen). De Ramanujansommeerbaarheid heeft iets te maken met Analytische voortzetbaarheid van functies wat van belang is bij heel wat toepassingen ondermeer in de natuurkunde. Ook Borelsommeerbaarheid leidt tot een analytische voortzetting.

Ramanujan heeft als autodidact in zijn leven (1887-1920) heel wat wiskundige formules beschreven die later heel belangrijk bleken te zijn. Deze sommeerbaarheid is er een van. Hij toonde aan dat voor een rij a(1), a(2), a(3), .... - die je ook continue kunt beschrijven als a(t) - hetvolgende geldig is door toepassing van de Stelling van Taylor:

waarbij C een constante, b_2k de Bernouilli getallen en  de afgeleiden van orde 2k-1 van de functie a(t) geevalueerd in index N voorstellen. Ramanujan definieerde de constante C als de som van de reeks die ook bestaat voor sommige divergente reeksen die via de klassieke analyse niet kan worden berekend. Deze constante C heten we de Ramanujansom van de reeks.

Als we dit nu toepassen op de de sequentie a(1)=1, a(2)=2, ...., a(N)=N en a(t)=t. Dan vinden we:

1/2(N+1)N=C+1/2 N²+N/2+1/2 b₂

Het tweede Bernouilli getal is 1/6 en dus vinden we voor C=-1/12. Later werd dit in verband gebracht met de analytische voortzetting van de Riemann Zeta-functie die inderdaad dezelfde oplossing aanlevert. Zoals u kan narekenen en kan vermoeden is de Ramanujan som van de negatieve gehele getallen +1/12.

Hopelijk beantwoordt dit uw vraag.

Vriendelijke groeten,

Kurt.