Is vierkantswortel 9 gelijk aan 3 of is vierkantswortel 9 gelijk aan 3 of -3?

Antwoord

Beste Ruben

De vierkantswortel uit 9 is gelijk aan 3, maar ik begrijp de mogelijke verwarring. Eigenlijk heeft het gewoon te maken met een afspraak, een wiskundige definitie.

De vergelijking x² = 9 heeft twee oplossingen, namelijk x = 3 maar ook x = -3. De getallen -3 en 3 noemen we ook wel de 'tweedemachtswortels van 9'.
De vergelijking x³ = 8 heeft alleen de oplossing x = 2, we noemen 2 dan ook 'de (enige) derdemachtswortel van 8'.

Dit gaat zo verder en kan je ook voor hogere machten doen, je krijgt dan de bijhorende machtswortels. In het algemeen komen machtswortels tevoorschijn bij vergelijkingen van de vorm

xⁿ = c

Hierin is c een reëel getal en oplossingen x van deze vergelijking noemen we 'n-de machtswortels' van c. We hebben de volgende gevallen:
- als n oneven is, dan heeft het getal c precies één n-de machtswortel, we noteren dat getal ⁿ√c (een betere notatie heb ik toegevoegd als bijlage),
- als n even is en c is negatief, dan zijn er geen oplossingen (want even machten zijn positief!),
- als n even is en c is positief, dan zijn er steeds twee oplossingen die tegengesteld zijn.

Het is in dit laatste geval dat men afgesproken heeft om de notatie ' ⁿ√c ' enkel te gebruiken voor de positieve machtswortel. In het geval van n = 2 spreken we ook van vierkantswortel. De naam 'dé vierkantswortel' en de notatie √c gebruiken we dus alleen maar voor de positieve van de twee.

Dit is een afspraak om ervoor te zorgen dat de notatie √c overeenstemt met een eenduidig getal. Later kan je er dan ook een functie mee maken want zoals je misschien al weet, mag er voor een functie bij een bepaalde x-waarde niet meer dan één beeld zijn. Met de afspraak van hierboven kan je spreken over de functie 'vierkantswortel', met voorschrift f(x) = √x.

Het is goed mogelijk dat je deze afspraak eigenlijk al gebruikte zonder dat je het besefte. Waarschijnlijk heb je al de formule met de discriminant gezien voor oplossingen van kwadratische vergelijkingen en die noteert men gewoonlijk als:

x_1,2 = (-b ± √D)/(2a)

We noteren hier die ± omdat √D enkel de positieve wortel voorstelt; als de notatie √D al zowel de positieve als de negatieve wortel omvatte, was dat natuurlijk niet nodig...!  

Nogal een lange uitleg voor iets wat eigenlijk gewoon een afspraak is, maar nu zie je misschien beter waar het vandaan komt.

Groeten
Tom