Hoe maak ik een kansberekening zonder dat er 3 of meerdere opvolgende getallen kunnen voorkomen?

Antwoord

Beste Mario,

Dat kun je doen door de "slechte" mogelijkheden, waarbij er wel drie opeenvolgende voorkomen, van het totaal aantal mogelijkheden af te trekken.

Je hebt inderdaad 10×9×8×7×6 / (5×4×3×2×1) = 252 mogelijkheden om 5 cijfers te kiezen uit 10 cijfers. Nu zal ik tellen hoeveel van die 252 keuzes slecht zijn. Om zeker te zijn dat ik er geen dubbel tel, zal ik ze opdelen naargelang de grootste sliert opeenvolgende cijfers.

Hoeveel keuzes van 5 uit 10 cijfers zijn er, waarbij de 5 cijfers opeenvolgend zijn? Wel, 6. Je laagste cijfer kan namelijk enkel 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn.

Hoeveel keuzes van 5 cijfers zijn er, waarbij er 4 cijfers opeenvolgend zijn, maar geen 5? Er zijn 7 manieren om een sliert van 4 opeenvolgende cijfers te maken (begincijfer kan 1, ..., 7 zijn). Maar het aantal manieren om daar een vijfde cijfer aan toe te voegen, is niet gelijk voor elke mogelijkheid. Als de vier opeenvolgende cijfers aan het begin of aan het einde komen (dus 1-2-3-4 of 7-8-9-10), dan zijn er 5 mogelijkheden om het resterende getal te zetten, zodat ze geen sliert van 5 opeenvolgende vormen. Als de vier opeenvolgende cijfers niet aan de uiteinden voorkomen, dan zijn er twee cijfers uitgesloten als kandidaat-vijfde-cijfer, dus dan zijn er 4 mogelijkheden. Het totale aantal is dus 2×5 + 5×4 = 30.

Hoeveel keuzes van 5 cijfers zijn er, waarbij er 3 cijfers opeenvolgend zijn, maar geen 4? Er zijn 8 manieren om de drie opeenvolgende cijfers te kiezen. Zitten de opeenvolgende aan een uiteinde (bv. 1-2-3) dan zijn voor de overige twee cijfers precies zes kandidaten (hier bv. {5, 6, 7, 8, 9, 10}). Het aantal manieren om twee cijfers uit zes te kiezen is 6 × 5 / 2 = 15. Zitten de opeenvolgende niet aan een uiteinde (bv. 6-7-8) dan zijn voor de overige twee cijfers maar vijf kandidaten (hier bv. {1, 2, 3, 4, 10}). Het aantal manieren om twee cijfers uit vijf te kiezen is 5 × 4 / 2 = 10. Dus het totale aantal combinaties van vijf cijfers, waarvan precies drie opeenvolgend, is 2×15 + 6×10 = 90.

Dus het antwoord op je vraag is 252 - 6 - 30 - 90 = 126.

Beste groeten,