Bewijs gelijkbenige driehoeken bij stelling van Morley

Antwoord

Hallo Floor,

je hebt het moeilijkste reeds bewezen!

Stel je hebt driehoek ABC. Noem A_B de tricetrice in A het dichtst tegen B, A_C deze dichtstbij C, analoog heb je dan B_A, B_C, C_A en C_B. Het snijpunt van A_B met B_A noteren we met P_C, analoog hebben we P_A als snijpunt van B_C met C_B, en P_B als snijpunt van A_C met C_A. Verder noemen we Q_A het snijpunt van B_A met C_A, en analoog Q_B en Q_C. De gelijkzijdige driehoek is driehoek P_A, P_B, P_C. En een gelijkbenige driehoek zou moeten gevormd worden door Q_C,P_A,P_B. Merk nu op dat P_C het snijpunt is van twee bissectrices in de driehoek A,B,Q_C. Dus ligt P_C ook op de bissectrice van de hoek hk(A,Q_C,B). Dus de rechte door P_C en Q_C is de binnenbissectrice van die hoek. Dus de driehoeken Q_C,P_C,P_A en Q_C,P_C,P_B hebben twee lengtes van zijden gemeen, namelijk zijde Q_C,P_C gemeenschappelijk en P_C,P_A is even lang als P_C,P_B, want ze zijn zijden van de gelijkzijdige driehoek die je al vond. Ze hebben ook de aanliggende hoek in Q_C gemeen, want die hoeken zijn beide de helft van de hoek hk(A,Q_C,B). Uit de theorie van de congruente driehoeken volgt nu dat beide driehoeken ofwel congruent zijn (en dan zijn de zijden Q_C,P_A en Q_C,P_B even lang, en de driehoek Q_C,P_A,P_B is gelijkbenig, wat we moesten bewijzen), ofwel zijn de hoeken van die twee driehoeken in Q_C supplementair, dat betekent hun som is 180 graden. Maar als het lijnstuk Q_C,P_C binnen de driehoek P_A, P_B, P_C ligt (of toch grotendeels), dan is die som 60 graden. Dus moet dat lijnstuk er volledig buiten vallen, maar dan is de lijn P_C,Q_C de buitenbissectrice, wat strijdig is met onze onderstelling.

Dus we hebben een gelijkbenige driehoek. Analoog voor de andere driehoeken.

Ik hoop dat het wat duidelijk is, maar als je het eerste deel gevonden hebt, zal dit wel niet meer zo moeilijk zijn!

vriendelijke groeten,
--Hendrik Van Maldeghem