Op school leerde ik afgeleiden berekenen - maar ik heb nooit begrepen wat ze nu eigenlijk betekenen, en voor welke toepassingen worden ze in het dagelijkse leven ingezet?

Antwoord

   Zoals vrijwel alle andere wiskundige begrippen heeft ook de afgeleide tal van toepassingen. Meer nog, de afgeleide behoort de allerbelangrijkste begrippen in de wiskunde. In letterlijk elk gebied van de exacte en toegepaste wetenschap en de technologie komen ze voor.

1) Wat is het ?
   Eerst, wat is een afgeleide eigenlijk ? De afgeleide geeft aan hoe snel een functie f(x) verandert.  Kijk op de bijgaande figuur :  Een grote positieve afgeleide betekent dat de functie voor die waarde van x sterkt toeneemt. Een erg negatieve afgeleide duidt op een snelle afname, een kleine positieve waarde van de afgeleide geeft aan dat de functie f(x) in de omgeving van die x slecht een beetje toeneemt. De afgeleide geeft dus ook aan hoe steil de raaklijn aan de functie is. Het is namelijk de richtingscoefficient van de raaklijn. Dus : als de afgeleide nul is, betekent dat, dat in dat punt x de raaklijn horizontaal loopt, en dat f(x) voor dat punt x dus een lokaal maximum of minimum bereikt.
  Een voorbeeldje: stel y =sin(x). De sinus is maximaal in x = pi/2. Inderdaad, zijn afgeleide, cos(x) is daar nul. De sinus loopt het steilst omhoog in x = 0, inderdaad, daar is zijn afgeleide maximaal, namelijk 1.

2) Toepassingen (daar kan je letterlijk een boek over volschrijven !)
   De bekendste toepassing is ongetwijfeld de volgende : stel dat je op een rechte weg de afgelegde afstand in functie van de tijd schrijft, dus x(t) . Als je dan de afgeleide  x ' (t)  berekent vind je de ogenblikkelijke snelheid  v(t) , ook in functie van de tijd. Als je nog eens afleidt vind je de versnelling  a(t)  . Op die manier heb je toegang tot het begrip "kracht" want kracht = massa * versnelling. De fysisch heel belangrijke wet van Newton bevat dus een afgeleide. Deze toepassing blijft ook geldig in meerdere dimensies.
   Nog een dagelijkse toepassing : stel dat je in een punt van een elektrische draad de lading in functie van de tijd schrijft, en je berekent de afgeleide. Dan vind je de elektrische stroom, toch ook een nuttig begrip in onze moderne maatschappij.
   Ook in economie worden afgeleiden gebruikt om bijvoorbeeld winsten te maximaliseren. Een typisch schoolvoorbeeld : als f(x) de vraag naar een product is ( en x is de verkoopprijs), dan is het inkomen door verkoop gelijk aan het product  x.f(x)   De firma wil natuurlijk haar inkomen maximaliseren, en moet dus nagaan voor welke prijs x dit product maximaal is. Hoe vind je een maximum van een functie ? Inderdaad, door te kijken voor welke waarde van  x  de afgeleide nul is.

  Meestal komen afgeleiden in de praktijk voor in een bepaald soort vergelijkingen die de verandering van een of andere grootheid beschrijven. Dit zijn differentiaalvergelijkingen. Een paar voorbeelden :

- warmtetransportvergelijking,
- algemeen : de diffusievergelijking
- golfvergelijking
- vergelijkingen van de stromingsmechanica
- ... vande sterkteleer
- bewegingsvergelijkingen, bijvoorbeeld van satellieten, hemellichamen
- de wetten van Maxwell die de basis vormen van het elektromagnetisme
- Schrödingervergelijking in de quantummeachanica
- ... en nog vele andere

Je ziet, toepassingen van afgeleiden vind je overal. Spijtig dat er in het middelbaar onderwijs niet meer over verteld wordt (of kan worden). Het zou wiskunde interessanter, én verteerbaarder maken.