Hoe verdeel ik 30 flessen in 3 groepen met dezelfde inhoud en hetzelfde aantal?

Antwoord

Beste Michel,

Je hebt hier negen onbekenden en negen vergelijkingen. Stel het aantal volle flessen van groep 1,2,3 gelijk aan x1,x2,x3, respectievelijk; het aantal halfvolle flessen y1,y2,y3, en het aantal lege flessen z1,z2,z3, respectievelijk. We gaan uitsluitend vergelijkingen opstellen, zoals je vraagt, zonder eerst na te denken om het zoveel mogelijk te vereenvoudigen. Er zijn negen vergelijkingen, namelijk, voor elke groep moeten we uitdrukken dat ze 5 liter krijgt; elke groep krijgt ook juist 10 flessen, en het totaal aan volle flessen is 10, aan halfvolle flessen is 10 en aan lege ook. Dit geeft:

x1+y1+z1=10
x2+y2+z2=10
x3+y3+z3=10
2x1+y1=10
2x2+y2=10
2x3+y3=10
x1+x2+x3=10
y1+y2+y3=10
z1+z2+z3=10

Trekken we de eerste van de vierde vergelijking af, en doen hetzelfde met de tweede en de vijfde, en met de derde en de zesde, dan zien we dat we de eerste drie vergelijkingen kunnen vervangen door x1=z1, x2=z2 en x3=z3. Dan wordt meteen ook de laatste vergelijking superflu, want die zegt precies hetzelfde als de zevende. We mogen dus de onbekenden z1,z2,z3 weglaten (maar onthouden dat ze gelijk zijn aan x1,x2,x3, respectievelijk) en we behouden

2x1+y1=10
2x2+y2=10
2x3+y3=10
x1+x2+x3=10
y1+y2+y3=10

Als we nu de eerste drie vergelijkingen optellen, en daarvan tweemaal de vierde aftrekken, dan verkrijgen we de laatste vergelijking. Dus de vijfde is superflu en mogen we weglaten.

We hebben dus over: vier vergelijkingen en 6 onbekenden. We kunnen er dus twee vrij kiezen, bijvoorbeeld we kiezen x1 en x2 vrij, dan volgt x3 met de vierde vgl, volgt y1 met de eerste, y2 met de tweede en y3 met de derde vgl. We moeten er wel voor zorgen dat de oplossingen allemaal positieve getallen zijn, of nul, en geheel. Dus x1 en x2 tussen 0 en 5 (inbegrepen), maar hun som tussen 5 en 10 (inbegrepen), anders is x3 negatief. Dit kan je op vijf verschillende manieren, namelijk de drietallen (5,5,0), (5,4,1), (5,3,2), (4,4,2), (4,3,3) voor (x1,x2,x3). Andere keuzes voor x1 en x2 geven aanleiding tot een equivalente oplossing,bvb x1=x2=3 geeft x4=3 en we verkrijgen de laatste oplossing. Dus de mogelijkheden zijn

Mogelijkheid 1:
groep 1: 5 volle, 0 halfvolle, 5 lege flessen
groep 2: 5 volle, 0 halfvolle, 5 lege flessen
groep 3: 0 volle, 10 halfvolle, 0 lege flessen
          
Mogelijkheid 2:
groep 1: 5 volle, 0 halfvolle, 5 lege flessen
groep 2: 4 volle, 2 halfvolle, 4 lege flessen
groep 3: 1 volle, 8 halfvolle, 1 lege flessen
          
Mogelijkheid 3:
groep 1: 5 volle, 0 halfvolle, 5 lege flessen
groep 2: 3 volle, 4 halfvolle, 3 lege flessen
groep 3: 2 volle, 6 halfvolle, 2 lege flessen
          
Mogelijkheid 4:
groep 1: 4 volle, 2 halfvolle, 4 lege flessen
groep 2: 4 volle, 2 halfvolle, 4 lege flessen
groep 3: 2 volle, 6 halfvolle, 2 lege flessen
          
Mogelijkheid 5:
groep 1: 4 volle, 2 halfvolle, 4 lege flessen
groep 2: 3 volle, 4 halfvolle, 3 lege flessen
groep 3: 3 volle, 4 halfvolle, 3 lege flessen
          
Natuurlijk verkrijg je dezelfde oplossing door te redeneren zonder vergelijkingen op te stellen en op te lossen. Je verdeelt gewoon op vijf mogelijke manieren de volle flessen over de vijf groepen, vult aan met de halfvolle flessen tot iedere groep vijf liter heeft, en verdeel dan de lege flessen over de groepen zodanig dat iedere groep 10 flessen krijgt. 

Succes ermee, en veel flessengeluk,
Hendrik Van Maldeghem