Hoe valt er te bewijzen dat de hoek onder welke een kogel geschoten moet worden om het verst te geraken, 45 graden is?

Antwoord

Vooreerst, dit is enkel zo in vacuum, als er geen enkele weerstand van de lucht is.
Dus, in vacuum:
We schieten een kogel af met snelheid Vo, onder een hoek alfa. De snelheidscomponent in de horizontale richting is dan Vo cos(alfa), en in de verticale richting Vo sin(alfa).
De zwaartekracht werkt zuiver verticaal. In de horizontale richting is er geen kracht die op dekogel werkt, en dus ook geen versnelling. Dus is de snelheid constant. De afgeleide weg in horizontale richting is dus:

x = Vo cos(alfa) . t

In verticale richting wordt dit:
 
y = Vo sin(alfa) . t - 0.5 g t²

We kozen de oorsprong van het assenkruis op de plaats waar de kogel wordt afgeschoten, de x-as horizontaal onder de baan van dekogel, en de y-as verticaal naar boven.

De kogel raakt de grond als y weer nul is, dus op tijdstip  t = 2 Vo sin(alfa) / g

Vullen we dit in x, dan weten we hoever de kogel geraakt is:

x = Vo² 2 sin(alfa) cos(alfa) / g = Vo² sin(2 alfa) / g

Deze afstand is maximaal als de sinus 1 is (zijn maximale waarde). Dus moet 2alfa 90° zijn of alfa = 45°