Wat is het getal 0 precies?

Antwoord

Hallo Danielle,

ik merk dat niemand jouw vraag beantwoordt, dus doe ik maar een poging. De reden waarom er nog niet is geantwoord is wellicht omdat het niet zo duidelijk is wat je bedoelt. Laat mij beginnen met zeggen dat er dicussie is of het getal 0 een natuurlijk getal is. Voor mij is het getal 0 geen natuurlijk getal. Een natuurlijk getal is een getal dat voorkomt in de natuur als een "aantal dingen van die natuur". Nu vertegenwoordigt 0 het ontbreken van een ding. Maar als een ding ontbreekt in de natuur, dan komt het niet voor in de natuur, en is het dus geen ding van de natuur, wordt dus niet geteld! Het heeft ook een tijdje geduurd eer mensen de noodzaak inzagen om het getal 0 te gebruiken, of het als getal te zien. Bijvoorbeeld onze tijdrekening is begonnen met het jaar 1. vandaar dat het huidig millenium begon op 1 januari 2001, en niet 2000 zoals overal verkeerdelijk gevierd werd. En het jaar vòòr het jaar 1 was het jaar -1.

Maar wat is 0 dan wel? Om de getallen wiskundig te benaderen hebben wiskundigen natuurlijke getallen precies en theoretisch gedefinieerd. Ik zal je die uitleg besparen, maar het komt erop neer dat in deze definitie het getal 0 WEL inbegrepen zit (vandaar de hogervermelde discussie). Het vertegenwoordigt het aantal elementen van een ledige verzameling. Dus indien je geen digeridoo hebt thuis, dan is je verzameling didgeridoo's ledig en heb je 0 didgeridoo's.

Het volgend probleem van de wiskundigen is: hoe reken je met 0? Ook hier gaven ze theoretische definities van som, product, verschil, deling, die overeenkomen met de "natuurlijke" bewerkingen. Eén van die definities impliceert dat 0 x 1 = 0. Je kan het zo stellen: n x m is het getal dat je bekomt door m verschillende verzamelingen te nemen van n verschillende dingen die ook allemaal verschillend zijn over al die m verzamelingen (en dan bewijzen wiskundigen dat m x n = n x m). Dus 1 verzamling van 0 dingen is 0. En 0 verzamelingen van 1 ding, dat is ook nul.

Nu 0/1=0. Eigenlijk is 0/n=0, voor elk natuurlijk getal. De definitie van deling gaat zo: het getal n/m, indien het bestaat, is het unieke getal dat vermenigvuldigd met m precies n geeft (en het moet uniek zijn, dat is "part of the definition"). Toegepast op 0/n geeft dit 0, want 0 maal n is 0. Voor geen enkel ander getal m is m x n gelijk aan 0.

Nu 1/0. We zoeken een getal dat, vermenigvuldigd met 0 precies 1 geeft. Maar elk getal maal 0 is 0! Dus zo een getal bestaat niet. We zeggen dat 1/0 niet gedefinieerd is.

Nu 0/0. We zoeken een getal dat, vermenigvuldigd met 0 terug 0 geeft. Maar ELK getal maal 0 is 0! Dus de uitkomst zou elk getal moeten zijn. Dit is niet uniek, en dus zeggen we dat dit niet goed gedefinieerd is. Er is dus een klein verschil met voorgaande paragraaf: daar is het NIET GEDEFINIEERD, hier NIET GOED GEDEFINIEERD. Want er zijn wel zulke getallen, maar niet uniek. Het is echter een gevoelsnuance; wiskundig zijn beide niet gedefinieerd.

Helpt dit een beetje? Het verhaal gaat nog verder met het invoeren van negatieve getallen, gebroken getallen, reële getallen, complexe getallen, enz. En dan kan je ook nog het symbool ∞ ("oneindig") invoeren om in zekere wiskundige situaties wel te kunnen rekenen met 0 en bvb 1/0=∞ te stellen. Maar dit zijn allemaal eerder wiskundige en abstracte dingen die je niet DIRECT moet linken aan een levenswaarheid, maar wel aan intuïtie (de intuïtie is dan dat ∞ iets is dat groter is dan elk getal---dit is zeker GEEN definitie, alleen een gevoel dat we willen geven aan ∞, wat alleen maar een levensloos symbool is). En door deze dingen op een bepaalde manier te definiëren lukt het de wiskundigen om bepaalde theorieën te formuleren en op te stellen die dan weer wel direct met levenswaarheden gelinkt zijn!    Of hoe abstractie en concretisering elkaar terugvinden na elk een lange weg te hebben afgelegd!

Vriendelijke groeten,
--Hendrik Van Maldeghem, UGent