Waarom is het vermoeden van Legendre nog niet bewezen indien bewezen is dat er steeds minstens 1 priemgetal ligt tussen [n - n^(23/42)] en [n] ?

Antwoord

Beste Geert

Het vermoeden van Legendre stelt dat er een priemgetal ligt tussen n² en (n+1)², voor alle n. Er werd reeds bewezen dat er een priemgetal ligt tussen k-k^(23/42) en k, voor alle k. Blijkbaar is dit een 'minder sterk' resultaat, anders heb je gelijk dat het vermoeden van Legendre hieruit zou kunnen volgen.

Om in te zien dat de bewezen stelling zwakker is, kunnen we wat rekenen. Stel k = (n+1)² in de bewezen stelling. De vraag is dan of k-k^(23/42), de ondergrens in de bewezen stelling, groter dan of kleiner dan n² is, de ondergrens van het vermoeden. Indien dit steeds groter is, ligt er dus zeker een priemgetal tussen n² en (n+1)².

Bekijk het verschil tussen de ondergrenzen: (k-k^(23/42)) - n² voor k = (n+1)²; na vereenvoudigen:

(k-k^(23/42)) - n² = ((n+1)²-(n+1)^(23/21)) - n² = 1 + 2n - (n+1)^(23/21)

Dit lijkt misschien positief te zijn (zodat de bewezen stelling een 'strengere ondergrens' zou leveren dan het vermoeden) en is dat ook voor n-waarden kleiner dan 1442, maar vanaf n = 1442 niet meer. Deze grens is niet echt van belang, maar wel het feit dat het verschil uiteindelijk negatief wordt waardoor de bewezen stelling niet meer kan garanderen dat er vanaf dan ook voldaan is aan het vermoeden van Legendre. Je kan eenvoudig inzien dat dit verschil negatief wordt: aangezien 23/21 > 1, gaat deze uitdrukking naar -oneindig voor n naar oneindig.

Groeten
Tom