0:0= ??

Stephan, 51 jaar
23 januari 2009

Wiskunde

Altiid discussie of 0:0=0, of 1(lijk 1:1=1), of oneindig, of de uitkomst bestaat niet wat mij in een exacte wetenschap bizar zou overkomen

Antwoord

Wel, het lijkt in feite nog meer bizar : 0 / 0 kan eigenlijk om het even wat zijn, afhankelijk van de situatie hoe die 0 / 0 juist tot stand komt. Maar het is beter te zeggen dat 0/0 niet bestaat.

Je hebt in de wiskunde zogenaamde onbepaaldheden, die voorkomen bij limieten. Nog een paar voorbeelden zijn :

0 maal oneindig         
oneindig gedeeld door oneindig          
nul tot de macht nul    
oneindig tot de macht nul
.....enz

Alles hangt er dan vanaf hoe je juist tot die onbepaaldheid komt. Het resultaat kan dan ook verschillend zijn.

Neem bijvoorbeeld de functie  f(x) =  sin(x) / x

Dit is een heel belangrijke functie die bijvoorbeeld gebruikt wordt in electronica bij audio-toepassingen (filteren van signalen).
Als je je afvraagt hoeveel deze functie is voor x = 0 krijg je  door in te vullen  0 / 0, en dat is dus onbepaald.
Daarom neemt men in de wiskunde een limiet : we gaan met  x  even verder staan, dus niet in nul, waar we de functie wel kunnen berekenen, en laten dan x langzaam dichter en dichter bij nul komen. Intussen kijken we wat de functiewaarde doet. Het blijkt hier dat, als x oneindig dicht bij nul komt, de functiewaarde van sin(x)/x dan zelf oneindig dicht bij 1 komt (zie figuur)

Je zou dus hier kunnen zeggen dat  0/0 gelijk is aan één, maar dat is fout geformuleerd. Je moet zeggen : de limiet van sin(x)/x  voor x gaande naar nul is één.

Maar neem nu  f(x)  = sin(x) / x2

Dan blijkt de limiet naar oneindig te gaan (en zelfs meer : indien je x laat naderen langs de positieve kant van nul, naar plus oneindig, en aan de negatieve kant naar min-oneindig !)
In dit geval is 0/0 dus oneindig., maar zo mag je dat niet zeggen. Je moet zeggen :  de limiet van sin(x) / x2  voor x gaande naar nul is oneindig.

Zo kunnen we nog een boel andere voorbeelden geven van 0 / 0, telkens met een ander resultaat;

Je ziet  : de vraag hoeveel is  0/0 kan niet beantwoord worden, want  0/0 bestaat niet. Je kan hoogstens kijken hoe het kwotient van twee dingen die beide naar nul gaan zich in limiet gedragen. Hetzelfde geldt voor die andere onbepaaldheden : soms is  "nul maal oneindig"  gelijk aan nul, soms aan oneindig, soms aan ... . Excuseer, ik moet zeggen : soms is de limiet gelijk aan nul, soms aan oneindig, soms aan ...


Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
https://www.kuleuven.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen