De oppervlakte van een cirkel ingeschreven in een vierkant = de oppervlakte van een aantal (n) gelijke kleinere cirkels in datzelfde vierkant. Wat gebeurt er als n naar limiet oneindig gaat? Worden de cirkeltjes dan punten? En is de oppervlaktesom dan de oppervlakte van het vierkant?
Beste,
Ik beantwoord deze vraag graag!
We gaan ervan uit dat de lengte van een zijde van het vierkant gelijk is aan 1. Dan kunnen we in dit vierkant precies n² cirkels met straal 1/(2n) plaatsen, mooi 'gerankschikt in een rooster', zodat elke cirkel raakt aan andere cirkels en eventueel een zijde van het vierkant. De oppervlakte van zo'n cirkel is gelijk aan 'straal maal straal maal pi', dus π/(4n²). De som van de oppervlaktes van al deze cirkels is bijgevolg gelijk aan n² keer π/(4n²), wat gelijk is aan π/4.
Conclusie van het verhaal: de ratio tussen de som van de oppervlaktes van alle cirkels en het omschreven vierkant is altijd gelijk aan π/4, ongeacht hoeveel cirkels je in het vierkant plaatst (in de veronderstelling dat de cirkels mooi in een rooster zijn gerankschikt). Als we de limiet nemen voor n naar oneindig, zal het vierkant dus bestipt zijn met een heleboel 'mini-cirkels' over een oppervlakte van π/4 heen.
Toffe vraag!
Lins
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
Combinatoriek, eindige meetkunde en discrete wiskunde Algoritmiek en computationele wiskunde Cryptografie en codeertheorie
© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen
