Onderzoeken van de begrensdheid van een functie in de n-dimensionale reële ruimte als de limiet niet bestaat.Het bestaan van de limiet van een functie, f: S-> Rn in een ophopingspunt, a (a1,...,an), is een voldoende voorwaarde voor de begrensdheid van dez

Valerie, 19 jaar
6 juni 2012

Het bestaan van de limiet van een functie, f: S-> Rn in een ophopingspunt, a (a1,...,an), is een voldoende voorwaarde voor de begrensdheid van deze functie in een omgeving van a. Als de limiet nu niet bestaat, hoe kan men dan nagaan of de functie begrensd is of niet. (Ik weet dat er een M moet bestaan > 0 waarvoor geldt dat |f(x)| <=M, maar hoe zou je deze dan algemeen al dan niet kunnen vinden?)
Alvast bedankt!

Met vriendelijke groeten
Valerie

Antwoord

Dag Valerie,

Inderdaad, om aan te tonen dat een functie begrensd is op een omgeving van een punt a is het vaak voldoende om aan te tonen dat de limiet bestaat in dat punt ongeacht het pad in S dat we volgen om het punt te bereiken. Natuurlijk is dit slechts een voldoende voorwaarde want omgekeerd is het niet waar omdat er niet-continue functies bestaan die wel begrensd zijn.

De enige algemene methode is een afschatting. Je toont aan door ruwe schattingen dat functie begrensd blijft. Je gaat concreet aantonen dat de functie begrensd wordt door een andere functie g(x)waarvoor het eenvoudiger is om de begrensdheid te bewijzen.

Vb 1: f(x)=sin(1/x)

De limiet in 0 bestaat niet aangezien sin(∞) niet bestaat. Natuurlijk is deze functie wel begrensd aangezien |f(x)|≤1 en van de functie 1 is het bewijs triviaal.

Vb 2: f(x,y)=xy/(x+y)2 in de buurt van (0,0)

De limiet bestaat niet. Inderdaad neem y=mx met m een willekeurige constante dan wordt de limiet  m/(m+1)2 maar deze hangt af van de constante m waardoor de limiet niet bestaat. Voor m=-1 wordt deze onbegrensd dus  is de functie f(x,y) niet begrensd in (0,0).

Vb 3: f(x,y)=xy/(x2+y2) in de buurt van (0,0)

De limiet bestaat opnieuw niet. Inderdaad neem y=mx en de limiet wordt m/(m2+1) die afhangt van m. Toch is deze limiet wel begrensd door haar maximum 1/2. De limiet bevindt zich echter in het interval [-1/2,1/2]. Deze grenswaarde lijkt een goede keuze. Geldt deze waarde voor de functie f(x,y)?

|xy|/(x2+y2)=1/2[(x2+y2-(|x|-|y|)2)/ (x2+y2)]≤1/2

aangezien het laten vallen van -(|x|-|y|)2 alles groter maakt. Het bewijs is rond.

Dit is de enige algemene methode. Ze vergt echter wel ervaring en de juiste kneepjes van het vak om een goede bovengrens af te schatten. Meestal zijn volkomen kwadraten maken en andere volkomen machten steeds een goede strategie.

Ik denk dat dit de vraag beantwoordt.

Groeten,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen