Hoe kan men op grafieken zien of we met een reële functie te maken hebben of niet?

Paula, 66 jaar
31 december 2011

De definitie is: een functie in R is een verzameling koppels reële getallen (x,y) waarbij elk reëel getal x ten hoogste één beeld y heeft. Ik versta dat niet goed! Dank bijvoorbaat

Antwoord

Een functie is een speciaal soort relatie.
Een relatie is gewoon een verband tussen de leden van twee verzamelingen. Dit kunnen twee verschillende verzamelingen zijn of het kan tweemaal over dezelfde verzameling gaan.
Neem bijvoorbeeld als bronverzameling (waar de pijlen vertrekken) alle nog levende belgen geboren tussen 1940 en 1960, en rechts alle nog levende belgen geboren tussen 1920 en1940. We nemen als relatie: "is kind van".
Zelf zitten we beiden in de verzameling links. Vanuit mij vertrekken er twee pijlen want mijn ouders zijn beiden belg, geboren tussen 1920 en 1940 en beiden nog in leven.
Vanuit u vertrekken er misschien ook twee pijlen, maar misschien ook minder omdat aan een van deze voorwaarden niet of niet meer voldaan is.
Deze relatie is geen functie, want vanuit sommige punten in de bronverzameling vertrekken er meer dan één pijlen.
Maar neem nu eens, met dezelfde verzameling de relatie "heeft als vader"
Dan vertrekt er hetzij 1 pijl, hetzij geen pijl. Dan hebben we een functie. Een functie is dus een relatie tussen twee verzamelingen waarbij vanuit elk punt uit de  bronverzameling hoogstens één pijl vertrekt naar de doelverzameling. De punten waaruit 1 pijlvertrekt noemen we het 'domein', de elementen waar rechts 1 pijl aankomt het 'beeld'. Het domein kan de volledige bronverzameling zijn, maar dat is niet altijd zo. Het beeld kan de volledige doelverzameling zijn, maar dat is niet altijd zo. In bovenstaand geval is het domein enkel die belgen geboren tussen 1940 en 1960 wiens vader 1) belg is, 2) nog leeft en 3) zelf tussen 1920 en 1940 geboren is. Het beeld zijn alle nogl levende belgische mannen geboren tussen 1920 en 1940, en die een kind met de belgische nationaliteithebben dat geboren is tussen 1940 en 1960.

Nu met wiskundige relaties of functies:
- neem bijvoorbeeld de relatie van R naar R "is het kwadraat van". Vanuit de negatieve getallen vertekt geen pijl, vanuit nul één enkele (naar nul aan de rechterkant), en vanuit de positieve getallen twee. Immers elk positief getalis het kwadraat van twee getallen. Vb: 4 is het kwadraat van 2 en van -2.
Dit is dus geen functie want er zijn x-waarden met meer dan 1 y-waarde. Ook als je alle koppels op een grafiek tekent zal je zien dat de positieve x-waarden twee mogelijke y-waarden hebben. => geen functie
- neem echter: "is de wortel van". Dan heb je wel een functie want vanuit een negatief vertrekt geen pijl, vanuit 0 en elke positef getal 1 enkele. Een wortel is immers steeds positief. => wel een functie.
Op de grafiek zal je dan zien dat voor elke x er hoogstens 1 y-waarde bestaat.

Zo kan je dus aan de grafiek zien of je een functie hebt :
Als er geen enkele x-waarde is met meer dan 1 y-waarde heb je een reële functie.

Concreet: als je door geen enkele x-waarde een verticale lijn kan tekenen die de grafiek meer dan 1 keer snijdt, dan heb je een functie. Als er x-waarden zijn waarin je een verticale lijn kan tekenen die de grafiek meer dan 1 keer snijdt, danis het geen functie.

Als elke x van de bronverzameling precies 1 beeld heeft (dus overal vertrekt een pijl), dan heb je een speciaal soort functie, namelijk een "afbeelding".


Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen