Wat betekent: ‘Meetkundige betekenis’ van een functie?

Jef, 18 jaar
26 december 2011

Geachte,

Mijn vraag zou geweest zijn:
Wat versta je onder: ‘Meetkundige betekenis’ van een functie?
Wat is vervolgens: Het verschil tussen een ‘wiskundige betekenis’ en een ‘meetkundige betekenis’ van een functie?

Met spanning kijk ik uit naar een goede omschrijving.
Alleszins bij voorbaat bedankt.
Vriendelijke groet.
Jef B

Antwoord

Beste Jef,

In eerste instantie kun je een functie gewoon zien als een doosje (black box) waar je een getal x instopt, en dat je vervolgens een ander getal y teruglevert, met dien verstande dat eenzelfde invoer steeds tot dezelfde uitvoer leidt. Voor een functie van 1 veranderlijke (waar we het in deze context over hebben) noteren we dit verband als y=f[x]

Een functie wordt veelal (maar niet noodzakelijk) gedefineerd m..b.v. een algebraïsch voorschrift, zoals bvb. y=5+3 x

De stap naar de zogenaamde meetkundige betekenis zit 'm in de zogenaamde Cartesiaanse afbeelding, waarbij de koppels {x, y} waarden worden uitgezet in een orthonormaal assenstelsel. De resulterende puntenverzameling kan dan ook gezien worden als meetkudige figuur. Wiskundig gezien is deze mapping niet noodzakelijk, maar het visionaire van Descartes was dat hij besefte dat ze ons een bijzonder krachtig hulpmiddel verschaft om meer inzicht te krijgen bij de studie van functies.

Als je dit doet met het voorschrift hierboven stel je bvb. vast dat de functie overeenstemt met een rechte. De studie van de overeenstemming tussen functievoorschriften en meetkundige fiiguren wordt doorgaans omschreven als Analytische Meetkunde.

Zo stemmen functievoorschiften van de vorm y=a0 +a1⋅x systematisch overeen met rechten, en worden derhalve lineaire functies genoemd. Voor ervaren gebruikers van wiskunde (ik durf de echte wiskundigen hiervan niet te beschuldigen ;-) is dit verband zo sterk dat ze in hun taalgebruik amper het onderscheid maken tussen een functie en de ermee overeenstemmende meetkundge figuur. Functievoorschriften van de vorm y=a0 +a1⋅x+a2⋅x2 worden dan bvb. gemakshalve omschreven als parabolen. Misschien zit 'm daar deels de bron van uw verwarring?

Philippe J. Roussel
Senior Reliability Researcher
imec

Reacties op dit antwoord

  • 10/01/2012 - Jef (vraagsteller)

    Geachte heer, Oprechte dank voor uw moeite en duidelijkheid! Zeg ik goed dat de - ‘wiskundige betekenis’ van een functie: Het ‘verband’ is van een getal (x) tot (y), volgens een ‘algebraïsche voorschrift’, in ons geval gedefinieerd als (y=5+3 x), m.a.w. y is een functie van x? - ‘meetkundige betekenis’ van een functie: Gezien wordt als een (meetkundige) voorstelling van een resulterende puntenverzameling, verkregen uit bovenstaande ‘algebraïsche voorschrift’ (t.t.z. functie)? Samengevat: Het ‘algebraïsche voorschrift’ y = 0,3 x² kan na uitwerking van de bekomen koppels (x,y) een ‘meetkundige functie’, zeg maar een ‘figuur’ opleveren in de vorm van een Parabool. Sorry, bedoeling was niet om aan muggenzifterij te doen, maar meer om een eenduidige, ondubbelzinnige omschrijving te verkrijgen, welke ik in bepaalde wiskunde boeken miste en zoals u - terecht vermoedde – me in verwarring bracht. Graag uw gewaardeerde mening, a.u.b Met vriendelijke groet, Jef B

  • 09/04/2012 -  (wetenschapper)

    Klopt, zo zie ik het zelf ook! Noteer overigens dat er nog andere interessante mogelijkheden zijn om een voorschrift om te zetten naar een meetkundige figuur. Zo is er bvb. het polaire coördinatensysteem, waar het functievoorschrift het verband weergeeft tussen de afstand van elk punt van de meetkundige figuur tot de oorsprong van het assenstelsel en de hoek tussen die straal en een gekozen referentie-as. In veel gevallen stemt de zo verkregen meetkudige figuur niet eens overeen met slechts één, maar met meerdere verschillende functies in Cartesische coördinaten!

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen