Als een getal niet deelbaar is door drie, dan is het kwadraad van dat getal, verminderd met één wél deelbaar door drie. Hoe komt dat?

patrik, 62 jaar
28 augustus 2010


Dit betekent ook dat het kwadraat van een priemgetal verminderd met één steeds deelbaar is door drie. Hebt u een verklaring?

Antwoord

Beste Patrik


Als een natuurlijk getal deelbaar is door 3, dan is het te schrijven als 3k met k ook een natuurlijk getal. Getallen die niet deelbaar zijn door 3, hebben rest 1 of 2 bij deling door 3 en zijn dus van de vorm 3k+1 of 3k+2, met k opnieuw een natuurlijk getal.

Bijvoorbeeld:
- 12 is deelbaar door 3 want het is te schrijven als 3*4,
- 13 is niet deelbaar door 3, het is te schrijven als 3*4+1,
- 14 is niet deelbaar door 3, het is te schrijven als 3*4+2.

Om je 'stelling' te controleren, volstaat het dus te kijken wat er gebeurt met getallen van de vorm 3k+1 of 3k+2. Ik voer de controle uit in het eerste geval; 3k+1 gekwadrateerd en vervolgens verminderd met 1 levert dan:

(3k+1)² - 1 = (3k)² + 2*3k*1 + 1² - 1 = 9k² + 6k

Dit getal is duidelijk deelbaar door 3 omdat beide termen in de laatste uitdrukking deelbaar zijn door 3. Op dezelfde manier kan je nagaan dat dit ook voor getallen van de vorm 3k+2 geldt; dus voor alle getallen die niet deelbaar zijn door 3.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen