Als een getal niet deelbaar is door drie, dan is het kwadraad van dat getal, verminderd met één wél deelbaar door drie. Hoe komt dat?

Als een natuurlijk getal deelbaar is door 3, dan is het te schrijven als 3k met k ook een natuurlijk getal. Getallen die niet deelbaar zijn door 3, hebben rest 1 of 2 bij deling door 3 en zijn dus van de vorm 3k+1 of 3k+2, met k opnieuw een natuurlijk getal.

Bijvoorbeeld:

- 12 is deelbaar door 3 want het is te schrijven als 3*4,

- 13 is niet deelbaar door 3, het is te schrijven als 3*4+1,

- 14 is niet deelbaar door 3, het is te schrijven als 3*4+2.

Om je 'stelling' te controleren, volstaat het dus te kijken wat er gebeurt met getallen van de vorm 3k+1 of 3k+2. Ik voer de controle uit in het eerste geval; 3k+1 gekwadrateerd en vervolgens verminderd met 1 levert dan:

(3k+1)² - 1 = (3k)² + 2*3k*1 + 1² - 1 = 9k² + 6k

Dit getal is duidelijk deelbaar door 3 omdat beide termen in de laatste uitdrukking deelbaar zijn door 3. Op dezelfde manier kan je nagaan dat dit ook voor getallen van de vorm 3k+2 geldt; dus voor alle getallen die niet deelbaar zijn door 3.

Groeten

Tom