Hoe noteer ik het middelpunt van een cirkel dat in de pool ligt?

Antwoord

Beste Christine,

De vraag op zich begreep ik eerst niet goed. Gelukkig gaf je wat extra informatie.

Het al dan niet bestaan van een oorsprong heeft niets te maken met het coördinatensysteem. Wat is de oorsprong van een vectorruimte eigenlijk?

De meeste mensen zullen onmiddellijk verwijzen naar dat punt met coördinaten (0,0,...,0) met het aantal 0 gelijk aan de dimensie van de ruimte. Hoewel dat dit op zich juist is, is dat niet de definitie maar een gevolg ervan. Je hebt immers geen cartesische ruimte nodig met een coördinatensysteem om over een oorsprong te spreken. 

Laten we starten met wat we een (wiskundige) ruimte noemen. Een ruimte in de wiskunde is een verzameling van punten waarmee een structuur wordt geassocieerd. Die structuur beschrijft de "spelregels". Naar gelang de spelregels die je wil beschouwen bekom je een kansruimte, toplogische ruimte en vele andere. Als we aan algebraïsche spelregels denken dan komen we snel bij de vectorruimte terecht. Structuren kunnen ook gecombineerd worden zoals een topologische vectorruimte. 

In de vectorruimte associëren we aan die verzameling punten een optelling (van zo twee punten) volgens de parallellogramregel en een scalaire vermenigvuldiging. Deze vectorruimte heeft een oorsprong die het neutrale element is van de optelling volgens de parallellogramregel. De oorsprong O is dus een punt met de eigenschap dat voor elk ander punt geldt: A+O=A. Dat punt is dan het referentiepunt van die vectorruimte. Merk op dat de keuze van de oorsprong arbitrair is. Je ziet dat de oorsprong verbonden is aan de algebraïsche structuur van de ruimte en niet een coördinatensysteem als dusdanig.  

Als we "loodrechte stand" invoeren in de ruimte spreken we over een inproductruimte. Het inproduct laat toe om de hoek te meten tussen twee vectoren. We zijn nu op een zucht verwijderd van wat we een "euclidische ruimte" noemen. We moeten nog een basis invoeren. Dit is een deelverzameling van punten zodat je via de optelling (zie parallellogramregel) van punten binnen de basis alle punten van de vectorruimte kan bereiken bovendien is deze verzameling niet reduceerbaar. Als je punt kan weglaten uit die deelverzameling dan is het geen basis maar heet men die deelverzameling voortbrengers. Het aantal vectoren in die basis is de dimensie van de vectorruimte. Als het aantal eindig is (met een inproduct), hebben we een euclidische (vector)ruimte. 

De cartesische ruimte is een speciale keuze van basis. We kiezen de basis zodat de vectoren in de basis loodrecht op elkaar staan en de afstand tot de oorsprong is gelijk aan 1. We spreken dan over een orthonormaal assenstelsel. Laten we de twee dimensionale ruimte nemen met een punt P=(x,y). Die coördinaten zijn eigenlijk een korte notatie voor de vectorsom:

P=[x,y]=x.[1,0]+y.[0,1]=x.e1+y.e2

waarbij e1=[1,0] de eerste basisvector en e2=[0,1] voor de tweede basisvector. Op die manier kan je met elke basis een cartesisch coördinatensysteem associëren. De basisvectoren hoeven niet loodrecht te staan maar je kan ook een niet-orthogonaal assenstelsel beschouwen.

Naast het cartesische systeem, zijn er nog andere coördinatensystemen. Een ander vaakvoorkomende systeem voor 2-dimensies zijn de poolcoördinaten. We gaan nu de positie van een punt bepalen aan de hand van (1) de afstand van dit punt tot de oorsprong en (2) de hoek die het punt maakt met de eerste basisvector. Dat systeem is toepasbaar in een euclidische ruimte omdat dit een inproductruimte is waarin je hoeken kan meten.

De oorsprong is niet veranderd. Deze blijft dat punt zodat 0+A=A is. Dat punt O heeft natuurlijk in haar cartesische vorm de coördinaten [0,0] omdat dat punt volgende voorstelling geniet: O=0.e1+0.e2. Op zich heeft de oorsprong ook de poolcoördinaat O=[0,a] met a willekeurig. De afstand tot de oorsprong is immers 0 en de hoek die de oorsprong maakt met de eerste basisvector is onbepaald en dus arbitrair. Door die onbepaaldheid lijkt het dat het poolcoördinatensysteem geen oorsprong heeft wat niet helemaal juist is. 

Vriendelijke groeten,

Kurt