Welk verschil is er tussen de imaginaire factoren i, j, k bij quaternionen?

Antwoord

Het lichaam der quaternionen is een vierdimensionale algebra over de reële getallen. In deze context is een algebra een vectorruimte waarbij naast de optelling van vectoren en de scalaire vermenigvuldiging met reële getallen ook een vermenigvuldiging gedefinieerd is op twee vectoren. Om het lichaam der quaternionen te beschrijven (of te construeren) starten we dus met een vierdimensionale vectorruimte over de reële getallen. Deze vectorruimte heeft een basis die bestaat uit vier vectoren die we noteren als 1, i, j en k. Hier is ‘1’ wel degelijk het reëel getal 1, dat tegelijk ook de rol van basisvector speelt. In deze vectorruimte is er dus een natuurlijke optelling, namelijk 

(a+b i+c j+d k) + (e + f i +g j +h k) = (a+e) + (b+f) i + (c+g) j + (d + h) k. 

Om deze vectorruimte als een algebra te beschouwen, moeten we ook een vermenigvuldiging definiëren tussen twee vectoren. Men kan nu eenvoudig nagaan dat de gekende rekenregels i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1, samen met de klassieke distributiviteit voor de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling, inderdaad een vermenigvuldiging oplevert die niet commutatief is, maar wel associatief, en waarbij het element 1 het eenheidselement is voor de vermenigvuldiging. Aldus wordt deze vectorruimte, samen met de optelling en de vermenigvuldiging van vectoren, een lichaam. 

De elementen i, j en k voldoen allemaal aan de “vergelijking” x^2=-1. Dit is echter geen vergelijking over de complexe getallen, anders zou inderdaad gelden dat i, j en k op een eventueel minteken na, aan elkaar gelijk zijn. De elementen i, j en k zijn vectoren uit een basis van een reële vectorruimte, ze zijn dus lineair onafhankelijk, en er bestaat dus geen enkele lineaire combinatie met reële coëfficiënten van de vorm a i + b j + c k = 0, tenzij met a = b = c = 0. Overigens spelen de basisvectoren i, j en k wel dezelfde rol. Elk van deze basisvectoren kan je ook gebruiken als imaginaire eenheid. De quaternionen van de vorm a + b i vormen een deelalgebra isomorf met het veld der complexe getallen, en hetzelfde geldt voor de quaternionen van de vorm a + c j en a + d k. Dit levert drie van de vele mogelijkheden om het veld der complexe getallen in te bedden in het lichaam der quaternionen. 

De vermenigvuldiging van quaternionen is niet commutatief. Wel is de vermenigvuldiging van een reëel getal met een quaternion commutatief, precies omdat dit een scalaire vermenigvuldiging is in een reële vectorruimte. De rekenregel ijk = -1 is voldoende om het product tussen elke twee van de vectoren i, j en k te bepalen. Uit ijk = - 1 volgt, door rechts te vermenigvuldigen met k, dat ij = -k. Door deze gelijkheid links te vermenigvuldigen met ji, vindt men 1 = -jik. Door dan rechts met k te vermenigvuldigen vindt men k = ji. Telkens gebruiken we ook dat i^2 = j^2 = k^2 = -1.