Bestaat wiskunde nog als de mensheid is uitgestorven?

Antwoord

Beste Raf,

De vraag blijft openstaan. Laat mij een poging doen als wiskundige.

Wiskunde heeft verschillende filosofische stromingen die elk anders met deze vraag omspringen. Platonisten beschouwen wiskundige objecten onafhankelijk van menselijke activiteit, denken of taal. In zekere zin, beschouwen platonisten dat wiskundige resultaten "ontdekt" worden. Een gekende groep van platonisten binnen de wiskunde waren de pythagoreanen. Deze school van volgelingen van Pythagoras stelde dat alles vanuit getallen gegeneerd was en als dusdanig door getallen kon worden voorgesteld. Het platonisme heeft nog meer varianten die men typisch positioneert binnen het wiskundige realisme. In meer moderne tijden was Kurt Gödel ook een platonist die stelde dat wiskunde de werkelijkheid beschreef.

De andere stromingen binnen de wiskunde zijn vormen van anti-realisme. Hierin wordt wiskunde als een creatief proces beschouwd.

Binnen het anti-realisme zijn er verschillende scholen, de ene al wat excentrieker dan de andere. Een voorbeeld is het logicisme. Die stelt dat elk resultaat binnen de wiskunde kan teruggebracht worden tot regels van de logica, zij het propositie en predicatenlogica. Hoewel dat ik persoonlijk ruimschoots die gedachtegang volg, is dat niet hoe wiskunde effectief tot ontwikkeling komt. Bewijsvoering binnen de wiskunde worden niet teruggebracht tot logische bouwstenen. Het is een redeneerproces waar beroep gedaan wordt op andere reeds bewezen stellingen met logische stappen die gezet worden waar de geldigheid wordt aangetoond. Verschillende wiskundigen hebben deze stroming ter harte genomen maar dat blijkt een heuse uitdaging.

Het formalisme is een stroming waarbij wiskunde als een spel wordt beschouwd met spelregels. Het formalisme was populair ten tijde van David Hilbert die geloofde dat wiskunde op consistente wijze axiomatiseerbaar is. Dat bleek de onvolledigheidsstelling van Gödel niet meer een correcte doelstelling. Onder invloed van Haskel Curry is het formalisme zich minder gaan toeleggen op het formele "systeem" maar eerder het rigoreuze van de redenering. Dat type van formalisme is zeker een hoeksteen van de moderne wiskunde.

Het conventionalisme binnen de wiskunde is een anti-realistische stroming die wiskunde ontwerpt met de doelstelling in gedachte. Henry Poincarré was een conventionalist. Hij was niet voor de benaming "niet-Euclidische meetkunde" omdat dit suggereert dat de Euclidische meetkunde een gouden standaard is. 

Het intuïtionisme stelt dat wiskunde geconstrueerd wordt vanuit wiskundige redeneringen die stapsgewijs tot ontwikkeling komen. Op die manier zijn conventionalisme en intuïtionisme aan elkaar gewaagd. Hoewel in een zekere zin het intuïtionisme wel stelt dat wiskunde niet gekoppeld mag worden aan de realiteit in tegenstelling tot het conventionalisme wat meer probleemgedreven is.

Als je het stappenpatroon ook doortrekt naar het redeneren binnen de wiskunde, kom je bij het constructivisme uit. Dit is een vorm van intuïtionisme waarbij resultaten ook stapsgewijs bewijsbaar moeten zijn. Dit heeft de implicatie dat een bewijsvoering vanuit het ongerijmde binnen het constructivisme niet geldig is.

In werkelijkheid zijn wiskundigen geen extremisten die een school aanhangen maar voelen wel wat voor een mengvorm. Ikzelf voel veel voor het constructivisme en het conventionalisme met een vleugje formalisme.

Groeten,

Kurt Barbé