Met de cijfers 1,2,3,4,5,6 worden getallen van zes verschillende cijfers gevormd, wat is dan de som van al deze getallen?

Antwoord

Je moet dat natuurlijk niet allemaal optellen, maar toch is het een goed idee om dat eens te doen voor een kleiner aantal dan zes om zo de regelmaat te ontdekken. Als wiskundige wil je natuurlijk een algemene formule voor gelijk welk n vinden. Dit kan op verschillende manieren. Neem bijvoorbeeld n = 3. Dan zou je moeten optellen:

123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321

Die zes kunnen we in een andere volgorde zetten. Dus de som is ook:

123 + 321 + 132 + 312 + 213 + 231 = 444 + 444 + 444 = 3 . 444

Dit gaan we nu op een logische manier veralgemenen.

Die 3 vooraan is het aantal mogelijk getallen (n!) gedeeld door twee, want je hebt die drie gelijke 444 bekomen door telkens twee termen van de som op te tellen. De vieren in die 444 ontstaan als 1+3, 2+2 of 3+1, en dat is in het algemeen n+1

Voor n = 4 zijn er 24 termen, en dus als je ze per twee optelt wordt dat 12 . 555.

Vervolgens, die 444 is te schrijven als (n+1) . (100 + 10 + 1) = (n+1) . ( 10^2 + 10^1 + 1) of algemener voor n: (n+1) [ 10^(n-1) + ... + 1]

Het gedeelte tussen de vierkante haken is dan korter te schrijven als : (10^n - 1) / 9 (vraag eens aan je leraar wiskunde waarom, het heeft wat te maken met meetkundige reeksen)

Dus: algemeen voor n: totale som = n! / 2 . (n+1) . (10^n - 1) / 9 of nog: (n+1)! . (10^n - 1) / 18

(andere gelijkaardige schrijfwijzen zijn mogelijk)

Voor n = 2 vind je: 33 (12 + 21)

Voor n = 3 vind je : 1332 (123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321)

Voor n = 4 vind je : 66 660

Voor n = 5 vind je: 3 999 960

en voor n = 6 wordt dat: 279 999 720

Dat dit zo snel toeneemt komt vooral door de faculteit vooraan. Een faculteit stijgt voor grote waarden van n veel sneller dan een macht van 10.

Voor n = 37 vind je 290568120814778395422226235611152383970943187918522160457777376438884761600000000 of2.9.. 10^80 en dat is ongeveer het aantal atomen in het waarneembare heelal

Voor n = 100:

5236637644354644122695346180268298194201284885945857649071049640787209777397900820279493256439893525538349285566507587499004107696838660579871511405414235092895035921279022260209917972050674356010647393798694999802800023146127427633152000000000000000000000000 = 5.2366... 10^258

en voor n = 1000: 2.237720263.. 10^3569

of om exact te zijn: 223772026298428259620692297976070549836163466152736303986857616855760250506126472007020140386364652336266926999337440697050165855482112981922347307499785853104678849217311574265968028530508845140166269698303484109442139132199744802788720207078412659637472378514069096569142389014928671906387681660827283068180995383982192054727379123077018314735209266606568720500545597346215710813996703049506388103623887540726576698852774836784963495265490123036063365969893433219516677205097558744346798470935840438983137785432310367511324953531825304010922409724482172271075723100485923537524400716104560145524907876871761003156938566946687963627438432136160933081152790725474447856253493685455599966886294028646549110780362723419177390515758427473546406128197602543613250826752273513097861284205181050661169958954867559500159348850262747174040233791710506754856438805631120572715541918290241605382653268548321014008835790934710524063225595635609684677053226340317384615966556933938559445846641711193435590450248624619899114507237272026470465807009750632191336912297814568950970816705665153431326008369123483344647098805584665141041761571579059677340200953400138653819342271703148196244433668383146297824540354941748515972377357066238039914691813242110210929584241874018381923508448011567250015790467969784436430934635808906758799047396114580559935114025115574913724438027538450668614176860369958492277924103650607289627198291545742545943428587371117285286102072414197761199138747251877965620177717602628945807135491830342137161817539648685653234109687590962789253493591047583364330840159461684795228254062263458234404449326747833673675019197699033220697999505445821887682669062127701134100477655505858644492439157034510047111499681094755480612612772766160736392938718432133965479042566603744404903851395787346391286444622904873168884654957178281737960061822911082544970476040798008339370773048192597250188596863859212444832335110918368349636840261347945913802474687404033603969191802644427885675165155107614560367428886458656699791226181372601129319786926315930476019261693784869950657456895963876799037720003704075546252518432445319679149333661122843442597550482502064646382283422712381610754927285637847886990206544256997573730868240325245812967440848883413176544217020891583131460008454800888591803611360759530215376399924603176379841268152775718414341090415961490510041149477165120156854864183741712525753903032161872905078437217657289291627935616570159432124920524945753930108040152462394784771752396060882060985587931960714570921881899358335991131679623829828918184484432562056748678587513316128992318405097790837457293647246963031200593822293608838440124606283324478349308667351653097678449745272610469618805441191661615840116619294354463987259322644384680692024278335929360612361012717457804353809565771322679942707919194608907032541769488286888750160327357446641190193043746880020279126913742295657103473990397607419383667530909079959877018434876356349357413436974033741434141098745015371550133334041476787140336690829388536424860105746420678821988885093115941283494949077627096649618345216264606801530785190391902167904353366203420555001331723858936065425747007965890958454743236272647277949124667585292162111092359614111663368583697782114605923950180289365735577537505804741093004824564233553337898910349036089944567709696000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000