Hoe zet je de differentievergelijking van Fibonacci om in de vorm van een matrix?

Bo, 18 jaar
8 mei 2023

Om de Fibonacci-getallen te kunnen berekenen werd er een formule opgesteld. Maar hoe zet je deze differentievergelijking om in een matrixvorm? Ik heb al op vele websites gezocht en het ook proberen zelf te berekenen maar het lukt mij niet.

Antwoord

Beste Bo,

Voor het gemak definieer ik de Fibonacci-getallen recursief als

{F0=0F1=1Fn=Fn1+Fn2 als n2\begin{cases} F_0=0\\ F_1=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \text{ als } n\geq 2\end{cases}

De diffentievergelijking van de rij van Fibonacci kunnen we formuleren via matrices door dit te bekijken als een lineaire afbeelding die toegepast wordt op 2 opeenvolgende getallen, om zo het volgend getal te berekenen. Ik verklaar me. Herschrijf vergelijking als

{Fn+1=Fn+Fn1Fn=Fn\begin{cases} F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\\ F_n=F_n\end{cases}

Dit komt dat overeen met

{Fn+1​​=1Fn​​+1Fn1​​​​​Fn​​=1Fn​​+0Fn1​​​\begin{cases} ​F_{n+1}​​=1\cdot F_n​​+1\cdot F_{n−1}​​​\\​​F_n​​=1\cdot F_n​​+0\cdot F_{n−1}​​​ \end{cases}

en dit kan je makkelijk omzetten naar een matrixvergelijking:

(Fn+1Fn)=(1110)(FnFn1)\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix} .

De eigenwaarden van deze matrix kan je dan weer gebruiken om een formule te vinden voor de Fibonaccigetallen (dit komt overeen met het diagonaliseren van de bovenstaande 2x2-matrix). Over dit laatst kan je ongetwijfel veel informatie terugvinden.


Hopelijk helpt dit je wat vooruit.


Stijn Symens

Universiteit Antwerpen

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw