In de Monty Hall-televisieshow wordt een spel gespeeld met drie deuren. Achter een van de deuren bevindt zich een auto en achter de twee andere is een geit verborgen. De speler duidt een van deze deuren aan. Gastheer Monty opent een andere deur, met een geit erachter. Daarna mag jij een van de twee ongeopende deuren openen, waarbij je wint wat erachter staat. Welke deur kies je het beste: die die je het eerst koos, of de overblijvende? Dus: blijf je bij je eerste keuze of verander je?
Jij, de speler, moet een zo goed mogelijke beslissing nemen en wordt daarbij geconfronteerd met een gebrek aan kennis, en dus met onzekerheid. Men pakt zulke beslissingsproblemen onder onzekerheid het beste aan met technieken uit de waarschijnlijkheidsleer.
Het Monty Hall-probleem is een van die vragen waarop de regels van de waarschijnlijkheidsleer een antwoord geven dat schijnbaar tegen de intuïtie indruist. Men gaat er vaak van uit dat het er niet toe doet dat Monty een deur opent, of nog, dat dit openen van een deur geen nuttige informatie aanbrengt. Daarom wordt het probleem soms ook als een paradox gezien. We zullen zien dat deze intuïtieve redenering verkeerd is.
Om te zien wat er aan de hand is, hebben we een beetje wiskunde nodig.
Nummer de deuren van 1 tot 3. We zullen voor het gemak aannemen dat jij deur 1 aangewezen hebt. We noemen x de deur waarachter de auto verborgen is. Je kent x niet, maar de mogelijke waarden zijn 1, 2, en 3. Vooraleer Monty een deur heeft geopend, heeft elk van deze mogelijkheden voor jou dezelfde waarschijnlijkheid:
p(x=1)=p(x=2)=p(x=3)=1/3.We willen weten wat deze waarschijnlijkheden worden nadat Monty een deur heeft geopend. Hiervoor zullen we de regel van Bayes gebruiken.
p(o=2|x=2)=0 en p(o=3|x=2)=1.Hierin stelt p(o|x) de waarschijnlijkheid voor dat Monty deur o opent, wanneer de auto achter deur x staat.
p(o=2|x=3)=1 en p(o=3|x=3)=0.En wanneer x=1, staat er een geit achter deur 2 en een achter deur 3, en dus heeft Monty de keuze tussen o=2 en o=3. Hier vinden we de belangrijkste bron van verwarring in het Monty-Hall probleem, die vaak over het hoofd wordt gezien: de beschrijving van het probleem is onvolledig omdat nergens wordt verteld hoe Monty de keuze maakt tussen deze twee opties. En dat is nochtans informatie die jij, de speler, nodig hebt om het probleem eenduidig op te lossen.
p(o=2|x=1)=1/2 en p(o=1|x=3)=1/2.Met de regel van Bayes kunnen we nu de gezochte waarschijnlijkheden p(x|o) vinden: p(x|o) is de waarschijnlijkheid dat de auto achter deur x staat, wanneer jij ziet dat Monty deur o opent. De formules hiervoor zijn:
p(x|o)=p(x)p(o|x)/p(o)met
p(o)=p(1)p(o|1)+p(2)p(o|2)+p(3)p(o|3).Vullen we alle bekende gegevens in deze formules in, dan vinden we bijvoorbeeld:
p(x=1|o=2)=1/3 en p(x=3|o=2)=2/3en
p(x=1|o=3)=1/3 en p(x=3|o=1)=2/3Het wordt dus twee keer waarschijnlijker dat de auto niet eerder dan wel achter deur 1 staat, zodat, welke deur Monty ook kiest, je het beste van deur verandert.
p(o=2|x=1)=1 en p(o=3|x=1)=0.Wanneer Monty dan bijvoorbeeld kiest voor deur 3, dan weet jij met zekerheid dat de auto niet achter deur 1, en evenmin achter deur 3 kan staan. Je weet dan zeker dat je voor deur 2 moet kiezen.
p(x=1|o=2)=1/2 en p(x=3|o=2)=1/2en in dit geval maakt het niet uit of we van deur veranderen of niet: beide mogelijkheden zijn nu even waarschijnlijk geworden.
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
© 2008-2025
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door Eos wetenschap. Voor vragen over het platform kan je terecht bij liam.verbinnen@eos.be
