Als je 6 sjaals willekeurig uitdeelt aan hun eigenaars, is dan de kans dat tenminste 1 van de 6 zijn eigen sjaal terugkrijgt 0.623?

Antwoord

Beste Georges,

Dit probleem kan je oplossen door eerst een andere kans te berekenen, namelijk deze waarvoor geen enkele persoon zijn sjaal terugkrijgt. Als je de kans van dit nieuwe probleem aftrekt van 1, dan krijg je de kans dat minstens 1 persoon zijn sjaal terugkrijgt. Dit komt omdat de som van de kansen "niemand krijgt zijn eigen sjaal terug" en "minstens een iemand krijgt zijn eigen sjaal terug" 1 moet zijn, er is namelijk geen andere mogelijkheid.

Wat is nu de kans dat niemand zijn eigen sjaal terugkrijgt? Laat ons eerst kijken naar het aantal mogelijkheden om 6 sjaals over zes mensen te verdelen. De eerste sjaal kan je aan zes mensen geven, de tweede nog aan vijf mensen, de derde aan vier mensen, enz. In totaal heb je dan 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 mogelijkheden. Nu moeten we nog weten voor hoeveel van die 720 mogelijkheden geen van de personen zijn eigen sjaal terugkrijgt. Dit is niet zo'n eenvoudige vraag. In de wiskunde staat dit bekend onder de term "derangement". De formule om het aantal mogelijkheden uit te rekenen is niet zo eenvoudig (zie bv. https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement). Voor zes sjaals zijn er 265 mogelijkheden. Als je dan dit aantal deelt door het totaal aantal manieren om de sjaals te verdelen, dan krijg je de kans dat geen van de zes personen zijn eigen sjaal terugkrijgt. Je bekomt 265/720 = 0.368. 

Als we nu willen weten hoe groot de kans is dat minstens een persoon zijn sjaal terugkrijgt, dan moeten we deze kans dus nog aftrekken van 1, en krijgen we: 1 - 0.368 = 0.632. Dit komt niet overeen met het juiste antwoord in je vraagstelling, maar ik vermoed dat dit een typfoutje kan zijn?