Waarom is een cosinushyperbolicus geen parabool?

Antwoord

Beste Lucas

Het korte antwoord is: het zijn gewoon verschillende krommen! Ze lijken wel sterk op elkaar, maar de vorm is niet precies hetzelfde. Je kan de ene dus ook niet exact op de andere leggen door enkel te verschuiven of te schalen (horizontaal/verticaal uitrekken of indrukken).

Bijgevoegd vind je een figuur (klik om te vergroten) waarbij de grafieken samen zijn weergegeven om ze goed te kunnen vergelijken:
- in het blauw de parabool y = x²,
- in het rood een cosinus hyperbolicus.

Er geldt cosh(x) = (e^x+e^-x)/2, maar de afgebeelde grafiek is die van een verschoven en herschaalde versie, zodat de vergelijking met de parabool duidelijker is. Als je goed kijkt, zie je dat deze cosinus hyperbolicus iets platter is in de buurt van de oorsprong, maar daarna de parabool snijdt en sneller stijgt. Ondanks het totaal verschillende functievoorschrift, een eenvoudige veelterm van graad 2 enerzijds en een som van exponentiële functies anderzijds, zijn de grafieken heel gelijkaardig maar toch niet helemaal hetzelfde.

Dat deze krommen zo sterk op elkaar lijken, weerspiegelt zich ook in de fysische situaties waarin je deze vormen in de 'echte wereld' kan tegenkomen. Je kan dat ook zelf berekenen, maar dat vraagt wat meer fysica en wiskunde.

Als je een touwtje (of een ketting) laat hangen door enkel de uiteinden vast te houden, dan vormt zich een kromme door het gewicht van dat touwtje: dat is de invloed van de zwaartekracht op het touwtje zelf. Deze vorm, die ook wel 'kettinglijn' wordt genoemd, volgt precies een cosinus hyperbolicus. Denk bijvoorbeeld aan de hangende kabels van hoogspanningsmasten, dat is hetzelfde principe.

Beeld je nu iets vergelijkbaars in, namelijk de hangende stalen kabels van een hangbrug. Hieraan hangt via kleinere verbindingskabels echter een wegdek. De vorm van de hangende kabel wordt hierdoor niet alleen bepaald door de zwaartekracht die op de kabel zelf werkt, maar ook door de extra krachten die het wegdek uitoefenen op deze hangende kabel. Doorgaans is de massa van dat wegdek bovendien veel groter dan de massa van de kabel zelf en dan neemt de hangende kabel eerder de vorm van een parabool dan van een kettinglijn aan.

Hopelijk is het zo iets duidelijker geworden: het zijn wiskundig gezien verschillende krommen en ze komen ook voor bij verschillende fysische situaties.

Groeten
Tom