Antwoord
Ja!
De Duitse wiskundige Leopold Kronecker zei ooit: "De gehele getallen zijn door God gemaakt, al de rest is mensenwerk!" Inderdaad, wiskundigen hebben in de loop der eeuwen nieuwe verzamelingen bedacht die de bestaande getallenverzamelingen uitbreidden (en ook verzamelingen getallen genoemd werden).
Zo zitten de natuurlijke getallen (N) bevat in de gehele getallen (Z), die op hun beurt bevat zitten in de verzameling quotiënten van gehelen, genaamd de rationale getallen (Q). Die zitten dan weer in het (véél meer elementen bevattende) veld van de reële getallen (R). Dit wist je waarschijnlijk al.
Ik gebruik hier de benaming veld. Dat is een verzameling met een optelling en vermenigvuldiging, die aan vele mooie eigenschappen voldoet (zoals de distrubitiviteit). Q en R zijn velden. Er is nog een (veld)uitbreiding van R, die veel gebruikt wordt, en dat is C, het veld van de complexe getallen. Het is een interessante verzameling waarover je meer vindt op het internet en in de wiskundehandboeken van de derde graad.
Dan kun je eigenlijk nog verder gaan, maar het wordt enkel moeilijker. Verzamelingen die C uitbreiden zijn bijvoorbeeld de quaternionen H en de octonionen O, maar het zijn geen velden. Door elementen bij te voegen bij C verliezen we namelijk de mooie eigenschappen die Q, R en C wel hadden als veld: bij de quaternionen is er geen commutativiteit (a·b ≠ b·a) en bij de octionen zelfs geen associativiteit ( a·(b·c) ≠ (a·b)·c ).
N, Z, Q en R hebben getallen die we kunnen ordenen: er is een "<" die zegt wanneer een getal groter of kleiner is dan een ander. Vanaf C hebben we ook deze eigenschap niet meer: van twee complexe getallen kunnen we doorgaans niet zeggen of de één groter is dan de ander (tenzij ze beiden in R zitten, natuurlijk).
Er zijn nog vele andere manieren om getallen uit te breiden, bijvoorbeeld door verschillende soorten "oneindig" een plaats te geven op de getallenas (kardinaalgetallen, ordinaalgetallen), of bijvoorbeeld door "oneindig kleine" elementen toe te voegen, die nog net groter zijn dan 0, maar kleiner dan elk reëel getal (infinitesimalen → surreële getallen). De technische details laat ik achterwege, maar een interessant startpunt is
Wikipedia: complex getal. Je leest er over de belangrijkste uitbreiding van
R en het blokje rechts geeft je een pak links naar andere getallenverzamelingen!
Veel plezier!
Reacties op dit antwoord
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.