Hoe vind je de snijpunten of raakpunten van een rechte met een parabool ?

Antwoord

Snijpunten zijn de punten waarvan de coordinaten zowel aan de vergelijking van de parabool als van de rechte vodoen. Stel dus de twee y-waarden gelijk en je krijgt een vierkantsvergelijking in x die je kan oplossen. Dat geeft 3 mogelijkheden:
1) twee verschillende reële wortels (=> twee verschillende snijpunten)
2) twee gelijk wortels (discriminant is nul) => de twee snijpunten vallen samen => raakpunt
3) twee complexe wortels (discriminant negatied) => geen reële snijpunten

vb met de parabool en rechte 1:
   -2x^2 + 2x = - 2x
of nog vereenvoudigd:
   x^2 - 2x + 0 = 0
zodat: discriminant Δ  =  b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.1.0 = 4
dus  twee snijpunten:  x= 0 (waarvoor dus y = 0)  en x = 2 (met y = -4)

de som van de x-coordinaten van een vierkantsvgl  ax^2 + Bx + c = 0   is steeds -b/a

dat kan je makkelijk zien als je kijkt naar de manier waarop je die berekent, met de discriminant Δ :

eerste wortel:   x1= [ - b + wortel(Δ) ] / 2a
tweede wortel:   x2= [ - b - wortel(Δ) ] / 2a
dus als je optelt   x1 + x2 = -b/a

probeer het maar eens met bovenstaand vb :  x1 + x2 = 2 en inderdaad -b/a = -(-2)/1 = ook 2

Voor de 2de rechte vind je twee samenvallende snijpunten, dus een raakpunt in x = 1/3

Dat het een raakpunt is kan je ook controlleren, want de afgeleide in dat punt is 2/3 en dat is inderdaad de richtingscoefficient van rechte 2.

In dat punt is de x-ccordinaat dus 1/3, hoewel men ook zou kunnen argumenteren dat het 2/3 is gezien het een dubbele wortel is, en dus tweemaal moet genomen worden. Dat is ook wat je vindt als je het formuletje  "som wortels = -b/a"  gebruikt.