Waarom kloppen deze integralen allebei?

Antwoord

Het kan inderdaad dat de uitkomst van een onbepaalde integraal er anders uitziet. De oplossing van een onbepaalde integraal is immers niet één functie, maar oneindig veel functies die onderling op een constante gelijk zijn. We schrijven daarom de oplossing als één enkele functie + constante. Wat die ene functie, de representant, (een soort "ambassadeur") van de oplossing is, zal afhangen van de gevolgde methode. Vooral met goniometrische oplossingen en met logaritmes kan je soms twee erg verschillende representanten krijgen, die echter wel op een constante na gelijk zijn.

Neem bijvoorbeeld de integral van  sin(x).cos(x)

Je kan dan naar keuze bekomen, naargelang je de sinus of de cosinus in de differentiaal dx plaatst zoals in je voorbeeld:

integraal = 0.5 sin²(x) +K
intregraal = - 0.5 cos²(x) + K

echter, met cos²(x) + sin²(x) = 1 kan je de ene in de andere omzetten. De extra term 1 verdwijnt in K

Maarje zou ook eerst kunnen zeggen: sin(x).cos(x) = 0.5 sin(2x), zodat dan:

integraal : - 0.25 cos(2x) + K

die is weer een andere representant, die via goniometrie (formules voor dubbele hoek) weer gelijk is aan de twee andere op een constante na.

Als je integralen hebt waarbij de oplossing logaritmen én goniometrie bevatten kunnen de verschillen soms zeer groot zijn, maar het zijn slechts schjnjbare verschillen, zoals in bovenstaande voorbeelden.

Concreet voor uw specifieke integraal: gewoon met de grondformule cos²(x)+sin²(x) = 1 kan je aantonen dat de twee representanten gelijk zijn op een constante na.