Waarom is wiskundige analyse niet (volledig) mogelijk binnen de verzameling van rationale getallen (Q)?

Antwoord

Beste Max,

Het antwoord is heel eenvoudig: dit kan niet aangezien Q geen gesloten deelruimte is van de reële getallen. De sluiting van Q is net alle reële getallen R.

Een gesloten ruimte is een ruimte of verzameling waarbij indien je de limiet neemt in die verzameling, ook de limiet in die verzameling ligt. Je kan dus wel een limiet nemen binnen Q maar die limiet hoeft niet binnen Q te liggen. Aangezien continuïteit, afgeleiden en integralen allen steunen op het begrip limiet, is het slecht gedefinieerd om dit binnen Q te doen.

Een ruimte zoals de rationale getallen vervolledigen hoeft niet noodzakelijk op een unieke manier te gebeuren. Om de reële getallen te bekomen moet je de ruimte Q vervolledigen t.o.v. de Euclidische afstand. Een alternatieve vervollediging zijn de p-adische getallen (p-adic numbers). Deze zijn volledige ruimte maar t.o.v. een andere afstandsmaat. Naast volledigheid van de p-adische ruimte is deze ook lokaal compact.

Deze p-adische getallen worden vooral bestudeerd en toegepast in de algebra en topologie. Je kan dus wel degelijk een limiet definiëren door de topologische uitbreiding van het limietbegrip te gebruiken (nl. net of een filter). Hierbij is continuïteit ook onmiddellijk gedefinieerd. Om afgeleiden en integralen te definiëren zou je dit kunnen doen a.d.h.v. de borelmaat dit werd voorgesteld in begin jaren 60:

[1] F. Bruhat, Integration p-adique, Séminaire Bourbaki, 14, Nr. 229, 1962

[2] F. Tomas, P-adische Integration, Bol. Soc. Math. Mex. II, Ser. 7, pp. 1-38, 1962.

Als bijlage vind je een aantal documenten die de p-adische getallen bestuderen en diens meetkunde en analyse. Dit is onmiddellijk high-level aangezien de p-adische getallen tot de hogere wiskunde behoren. Je moet dus een grondige basis hebben in de topologie, functionaalanlyse, complexe analyse en groepenalgebra.

Hopelijk bent U blij met dit antwoord,

Beste groet,

Kurt.