Ik heb drie wiskundige vragen over een bol.

walter, 44 jaar
31 juli 2010

Ik heb eigenlijk 3 wiskundige vragen over een bol:
1) Als je de formule voor de inhoud van een bol afleidt naar R, dan krijg je de formule voor de oppervlakte van een bol. Is dit toeval of niet? Volgens mij is dat bij geen enkele andere ruimtefiguur het geval.
2) Bestaat er een algemene formule voor de "inhoud" van een n-dimensionale bol?
3) De bol zou de meetkundige figuur zijn waarvoor de verhouding inhoud/oppervlakte het grootst is. Is daar een wiskundig bewijs voor?

Mijn wiskundekennis is behoorlijk goed, dus mogen de antwoord een redelijke abstractieniveau hebben.

Antwoord

1) Neen dat is geen toeval. Als je in het algemeen een functie f(x) hebt, en je laat x toenemen met een kleine stap dx, dan kan je de bijhorende toename van de functie benaderen als df = f'(x).dx. Immers :

f(x+dx) = f(x) + f'(x).dx + 1/2 f''(x).dx2 +  .... (de Taylorreeks)

Dus   df = f(x+dx) - f(x) = f'(x).dx + hogere machten van dx, die we kunnen verwaarlozen omdat dx heel klein is.

OK, dat passen we nu toe op V(R) = 4/3 pi R3, het volume van een bol.

Als de straal iets toeneemt, met dR, vinden we dus een toename van het volume dat gelijk is aan

dV = V'(R).dr  =  4 Pi . R2 . dR

Zie je de formule van de oppervlakte staan ?

Dat is goed te begrijpen : je kan die volumetoename ook "beredeneren" als volgt : als de straal een heel klein beetje toeneemt, komt er een dun laagje bij op de bol. Het volume van dat dun laagje  is  gelijk aan de oppervlakte maal de dikte. Dus ook :

dV = S(R) . dR

Je ziet dus dat S(R) precies overeenkomt met 4 pi R2.

Let op, dat is bijvoorbeeld ook het geval voor kubus. Als je de ribbe laat toenemen met een kleine toename 2dR, dus dr langs beide uiteinden van elke ribbe, dan neemt het volume toe met :

( R + 2dR)3 - R3 = R3 = R3  + 3 . R2 . 2dR + term in dR2 + term in dR3  -  R3
= 6 R2 dR + verwaarloosbare hogere orde termen

Dus ook hier zie je op de plaats voor dR, waar volgens de stelling van Taylor de eerste afgeleide staat, de oppervlakte van uw kubus staan. Ook voor andere lichamen die slechts van één parameter afhangen zal je, indien je correct redeneert deze werkwijze kunnen herhalen.

Het is ook al wetenschappelijik onderzocht :
http://arxiv.org/abs/math/0702635

2) Ja, die formule vind je bijvoorbeeld op : 
http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere
of
http://people.csail.mit.edu/jrennie/writing/sphereVolume.pdf      en de referenties daarin.

3) Ja, dat is effectief bewezen in 1884 door de duitser :

H. A. Schwarz,
Beweis des Satzes, dass die Kugel kleinere Oberäche besitz, als jeder andere Körper gleichen Volumens,
in het tijdschrift : Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1884), 1{13.


Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
https://www.kuleuven.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw