In de les hebben we berekend hoeveel kans je hebt met een groep van een bepaald aantal personen,in ons geval 22, minstens 2 mensen op dezelfde dag jarig zijn. Dit was 47.5%.
Ik vraag me nu af, of je dit omgekeerd ook kan bepalen, namelijk met een groep van n mensen heb je 99% kans om 2 mensen met dezelfde verjaardag te hebben. Hoe kan je n bepalen? Ik denk dat je dit kan met de vergelijking:
[366^n - (366!/(366-n)!)]/366^n = 0.99
alleen kan ik die niet oplossen, ik kan ze vereenvoudigen tot:
0.01*366^n = 366!/(366-n)!
Ik heb geprobeerd om getallen in te vullen en te kijken welke het dichtst komt, maar mijn rekenmachine kan zo'n grote getallen niet aan. Zit ergens een fout of moet het met een andere methode?
Je wil dus n bepalen zodat de kans dat ten minste twee personen een gelijke verjaardag hebben 0.99 is. Of anders gezegd, je wil n bepalen zodat de kans dat iedereen op een andere dag verjaart 0.01 is.
De eerste persoon kan gelijk welke verjaardag hebben.
Voor de 2de blijven er nog 364 van de 365 over.
De kans dat ze op een verschillende dag verjaren is dus 364/365
Voor de 3de persoon blijven er nog 363 dagen over. De kans dat de 3 personen op een verschillend dag verjaren is dus :
P(3) = 364*363 / 3652 = 365 * 364 * 363 / 3653
op dezelfde manier :
P(4) = 364 * 363 * 362 / 3653 = 365 * 364 * 363 * 362 / 3654
en algemeen :
P(n) = 365 * 364 * 363 * .... * (365 - n + 1 ) / 365n
= 365 ! / [ 365n . ( 365 - n ) ! ]
Je wil dat deze kan 0.01 is.
Dit geeft de formule die jij zelf ook vermeldt.
Om dit op te lossen moet je een aantal waarden van n proberen, en het probleem is inderdaad dat uw rekenmachine dit niet aankan. Hoewel....
Als je eerst de teller 365! uitrekent, en dan de noemer, en je wil delen, zal je zowel bij de teller als bij de noemer veel te grote getallen uitkomen, die uw rekenmachine niet aankan. Je kan het echter wel als volgt berekenen zonder in problemen te komen.
Stel dat ik wil berekenen 20! / 1520 = (20 * 19 * ... * 2 * 1 ) / (15 * 15 * ... * 15 )
en de teller en noemer zijn op zich te groot. Merk ook op dat het aantal getallen in teller en noemer gelijk zijn, zoals ook in de formule van P(n) is dit het geval.
Bereken dan in de volgorde :
20 / 15 * 19 / 15 * 18 / 5 * .... * 2 / 15 * 1 / 15
Je neemt dus afwisselend een getal uit de teller en een getal uit de noemer in rekening. Omdat je afwisselend vermenivuldigt en deelt, zal je tijdens de berekening nooit een overflow krijgen en kan je toch het eindresultaat vinden op een rekenmachine. Als je kan programmeren is dit een eenvoudige FOR-loop. Wiskundige software zoals Maple kan die grote getallen wel aan.
Het antwoord op je vraag is overigens 57
zie : http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door Eos wetenschap. Voor vragen over het platform kan je terecht bij liam.verbinnen@eos.be
