Kan iemand de kettingregel voor afgeleiden eens verstaanbaar uitleggen?

Antwoord

Misschien eerst eens in woorden de bedoeling van een afgeleide uitleggen. Stel dat een functie y van een variabele x afhangt, en je wil weten hoe sterk y variëert in een punt x. Dan doe je in dat punt x een stapje Δx (laat ons voor de eenvoud aannemen dat dit positief is), en kijk je hoeveel y daardoor veranderd is. Noem deze verandering Δy. De verhouding  Δy/Δx  geeft dan aan hoe sterk y van x afhangt in dat punt. Als de functie daar toevallig sterk stijgt zal je met een kleine Δx een grote toename Δy realiseren en zal de verhouding dus een "groot" getal zijn. Als y aan het afnemen is zal die verhouding negatief zijn.
Nu hangt die verhouding in dat punt nog steeds af van de gekozen stap Δx . Om die invloed uit te schakelen gaan we Δx oneindig klein nemen, en noemen we die stap dx. De bijhorende stap Δy wordt nu ook oneindig klein en noemen we dy. (in de veronderstelling dat de functie daar inderdaad afleidbaar is). Zo krijgen we de ogenblikkelijke verhouding dy/dx, en die noemen we af afgeleide.

dus: f'(x) = dy/dx = limiet(Δy/Δx)  voor  Δy

Een afgeleide schrijven we meestal als :

dy/dx = f'(x)

We kunnen deze verhouding van oneindig kleine veranderingen ook schrijven als :

dy = f'(x) . dx

Stel nu dat y op zijn beurt wordt afgebeeld door een andere functie g op een variabele z :

z = g(y)

z wordt dus bepaald door y, en y op zijn beurt door x. Er zijn dus twee niveaus van afhankelijkheid, en als we z willen afleiden naar x, zullen we dus met die twee niveaus moeten rekening houden.
We leiden eerst het bovenste niveau af  :

dz = g'(y) . dy

en omdat y zelf van x afhangt wordt dit, door y en dy te vervangen :

dz = g'( f(x) ) . f'(x) dx

dus de afgeleide van z naar x is :

dz/dx = g'(f(x)) . f'(x)

Je ziet dat eerst de functie g wordt afgeleid met f(x) als veranderlijke : dit stuk beschrijft de afhankelijkheid van z als functie van y. Dat wordt dan vermenigvuldigd met de afgeleide van f in x : dit stuk zegt dan verder hoe y op zijn beurt van x afhangt. Zo heb je automatisch met de twee niveaus van afhankelijkheid rekening gehouden. (Geef toe, het zit toch goed in elkaar, die wiskunde!)

vb :  z = sin x²

dit is equivalent met te zeggen :  z = sin y   met  y = x²

We leiden nu z af naar x.

Eerste stap : z naar y :    dz/dy = cos(y)   of anders gezegd :  dz = cos(y) . dy

Tweede stap : y naar x :    dy/dx = 2x      of anders gezegd :  dy = 2x . dx

nu vervangen we y door x² en vervangen vervolgens dy in de bovenste formule door zijn uitdrukking eronder :

dz = cos(x²)  . ( 2x . dx )

of anders geschreven :

dz/dx = 2x . cos(x²)   

Dit kan je nu op dezelfde manier doen als je drie of meer niveaus van  afhankelijkheid hebt. Neem bijvoorbeeld  u = ln (sin(x²))  :  eerst neem je een kwadraat, dan daarvan de sinus, en dan daarvan de natuurlijke logaritme.

beneden  = x      →      y       →      z      →      u  = boven

Afleiden met de kettingregel gebeurt in de volgorde van "boven" naar "beneden".

Denk eraan :  u = ln z     met   z = cos y   met y = x²

Dus, elke variabele, te beginnen met de bovenste, afleiden naar de variabele waarvan hij afhangt :

du/dx = u'(z) . z'(y) . y'(x)

als je alles invult naar x :

du/dx = ( 1/sin x² ) .  cos x² . 2x  = 2x cot x²